Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/16

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Supposons-les remplies. Cela posé, considérons l'intégrale (udx-}- vdy-i-wdz). Elle aura, comme nous l'apprend le théorème de Helmholtz, même valeur le long de la courbe F et le long de la courbe F0. En d'autres termes, cette intégrale est un invariant intégral. Définition des invariants intégraux. 235. Dans les exemples que je viens de citer on est facilement conduit, par la nature même de la question, à la considération des invariants intégraux. Mais il est clair que l'on peut employer ces invariants en en généralisant la définition dans des cas beaucoup plus étendus où l'on ne pourrait plus leur attribuer une signification physique aussi simple. Considérons des équations différentielles de la forme X, Y, Z étant des fonctions données de x, y, z. Si l'on savait les intégrer on en tirerait x, y, z en fonction de t et de leurs valeurs initiales x0, Yo, z0. Si nous regardons t comme représentant le temps et x, y, z comme représentant les coordonnées d'un point mobile M dans l'espace, les équations (i) définiront les lois du mouvement de ce point mobile. Les mêmes équations une fois intégrées nous feraient connaître la position du point M au temps t connaissant sa position initiale Mo dont les coordonnées sont xo, y0, z0. Si l'on considère des points mobiles suivant la même loi et dont l'ensemble forme à l'origine des temps une figure F0, l'en- semble de ces mêmes points formera à l'instant t une autre figure F qui sera une ligne, une surface ou un volume suivant que la figure F0 sera elle-même une ligne, une surface ou un volume.