Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/17

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Considérons alors une intégrale simple f(Adx-t-Bdy+-Cdz), où A, B, C sont des fonctions connues de x, y et il peut arriver que si F0 est une ligne, cette intégrale (2) étendue à tous les éléments de la ligne F soit une constante indépendante du temps et soit égale par conséquent à la valeur de cette même intégrale étendue à tous les éléments de la ligne Fo. Supposons maintenant que F et Fo soient des surfaces et envi- sageons l'intégrale double (3) (A'dy dz + B'dx dz -+ - C'dx dy), où A', B', C' sont des fonctions de x, y et Il peut arriver que cette intégrale ait la même valeur, qu'on l'étende à tous les élé- ments de la surface F ou à tous ceux de la surface F0. Imaginons maintenant que F etFo soient des volumes et envi- sageons l'intégrale triple (4) Mdxdydz, M étant une fonction de x, y, il peut arriver qu'elle ait même valeur pour F et pour F0. Dans ces différents cas, nous dirons que les intégrales (2), (3) ou (4) sont des invariants intégraux. Il arrivera quelquefois que l'intégrale simple (2) n'aura la même valeur pour les lignes F et F0 que si ces deux courbes sont fermées ; ou bien que l'intégrale double (3) n'aura la même valeur pour les surfaces F et F0 que si ces deux surfaces sont fermées. Nous dirons alors que (2) est un invariant intégral par rapport aux courbes fermées et que (3) est un invariant intégral par rapport aux surfaces fermées. 236. La représentation géométrique dont nous avons fait usage ne joue évidemment aucun rôle essentiel; nous pouvons la laisser de côté et rien n'empêchera plus d'étendre les définitions précé- dentes au cas où le nombre des variables est plus grand que trois.