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INVARIANTS INTÉGRAUX.

Considérons alors une intégrale simple

(2)

$\int (\mathrm {A} \,dx+\mathrm {B} \,dy+\mathrm {C} \,dz),$

où $\mathrm {A,\,B,\,C}$ sont des fonctions connues de $x,$ $y$ et $z\,;$ il peut arriver que si $\mathrm {F} _{0}$ est une ligne, cette intégrale (2) étendue à tous les éléments de la ligne $\mathrm {F}$ soit une constante indépendante du temps et soit égale par conséquent à la valeur de cette même intégrale étendue à tous les éléments de la ligne $\mathrm {F} _{0}.$

Supposons maintenant que $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} _{0}$ soient des surfaces et envisageons l’intégrale double

(3)

$\iint (\mathrm {A} '\,dy\,dz+\mathrm {B} '\,dx\,dz+\mathrm {C} '\,dx\,dy),$

où $\mathrm {A',\,B',\,C} '$ sont des fonctions de $x,$ $y$ et $z.$ Il peut arriver que cette intégrale ait la même valeur, qu’on l’étende à tous les éléments de la surface $\mathrm {F}$ ou à tous ceux de la surface $\mathrm {F} _{0}.$

Imaginons maintenant que $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} _{0}$ soient des volumes et envisageons l’intégrale triple

(4)

$\iiint \mathrm {M} \,dx\,dy\,dz,$

$\mathrm {M}$ étant une fonction de $x,\,y,\,z\,;$ il peut arriver qu’elle ait même valeur pour $\mathrm {F}$ et pour $\mathrm {F} _{0}.$

Dans ces différents cas, nous dirons que les intégrales (2), (3) ou (4) sont des invariants intégraux.

Il arrivera quelquefois que l’intégrale simple (2) n’aura la même valeur pour les lignes $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} _{0}$ que si ces deux courbes sont fermées ; ou bien que l’intégrale double (3) n’aura la même valeur pour les surfaces $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} _{0}$ que si ces deux surfaces sont fermées.

Nous dirons alors que (2) est un invariant intégral par rapport aux courbes fermées et que (3) est un invariant intégral par rapport aux surfaces fermées.

236.La représentation géométrique dont nous avons fait usage ne joue évidemment aucun rôle essentiel ; nous pouvons la laisser de côté et rien n’empêchera plus d’étendre les définitions précédentes au cas où le nombre des variables est plus grand que trois.