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STABILITÉ À LA POISSON.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Supposons que les équations (1) admettent une intégrale

$\mathrm {F} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\mathrm {const.}$

Considérons le domaine $\mathrm {V}$ défini par les inégalités

$h<\mathrm {F} <h',$

où $h$ et $h'$ sont deux constantes quelconques, aussi rapprochées qu’on le voudra.

Il est clair que si ces inégalités sont satisfaites à l’origine des temps, elles le seront toujours. Le domaine $\mathrm {V}$ satisfait donc bien aux conditions proposées.

Application au problème restreint.

299.Nous allons appliquer ces principes au problème restreint du n^o 9 ; une masse nulle, mouvement des deux autres masses circulaire, inclinaison nulle. Si nous rapportons la masse nulle dont nous étudions le mouvement à deux axes mobiles tournant autour du centre de gravité commun des deux autres masses, avec une vitesse angulaire constante $n$ égale à celle de ces deux autres masses ; si nous désignons par $\xi ,\,\eta$ les coordonnées de la masse nulle par rapport aux deux axes mobiles, et par $\mathrm {V}$ la fonction des forces, les équations du mouvement s’écriront

(1)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\xi }{dt}}&=\xi ',\qquad {\frac {d\eta }{dt}}=\eta ',\\[0.5ex]{\frac {d\xi '}{dt}}&=2n\eta '+n^{2}\xi +{\frac {d\mathrm {V} }{d\xi }},\\[0.5ex]{\frac {d\eta '}{dt}}&=-2n\xi '+n^{2}\eta +{\frac {d\mathrm {V} }{d\eta }},\end{aligned}}\right.$

et l’on voit tout de suite qu’elles admettent un invariant intégral positif

(2)

$\int d\xi \,d\eta \,d\xi '\,d\eta '.$

D’autre part, elles admettent l’intégrale de Jacobi

(3)

${\frac {\xi '^{2}+\eta '^{2}}{2}}=\mathrm {V} +{\frac {n^{2}}{2}}(\xi ^{2}+\eta ^{2})+h,$

$h$ étant une constante.