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CHAPITRE XXII.

Considérons alors les équations

(1)

${\frac {dx_{1}}{\mathrm {X} _{1}}}={\frac {dx_{2}}{\mathrm {X} _{2}}}=\ldots ={\frac {dx_{n}}{\mathrm {X} _{n}}}=dt,$

où $\mathrm {X} _{1},\,\mathrm {X} _{2},\,\ldots ,\,\mathrm {X} _{n}$ sont des fonctions données de $x_{1},$ $x_{2},\,\ldots ,$ $x_{n}\,;$ si l’on savait les intégrer, on connaîtrait $x_{1},$ $x_{2},\,\ldots ,$ $x_{n}$ en fonctions de $t$ et de leurs valeurs initiales $x_{1}^{0},$ $x_{2}^{,}0\,\ldots ,$ $x_{n}^{0}.$ Nous pouvons, pour conserver le même langage, appeler point $\mathrm {M}$ le système de valeurs $x_{1},$ $x_{2},\,\ldots ,$ $x_{n},$ et point $\mathrm {M} _{0}$ le système de valeurs $x_{1}^{0},$ $x_{2}^{,}0$ $\ldots ,\,x_{n}^{0}.$

Considérons un ensemble de points $\mathrm {M} _{0}$ formant une variété $\mathrm {F} _{0}$ et l’ensemble des points correspondants $\mathrm {M}$ formant une autre variété $\mathrm {F}$^[1].

Nous supposerons que $\mathrm {F} _{0}$ et $\mathrm {F}$ sont des variétés continues à $p$ dimensions où $p\leqq n.$

Considérons alors une intégrale d’ordre $p$

(2)

$\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} \,d\omega ,$

où $\mathrm {A}$ est une fonction de $x_{1},$ $x_{2},\,\ldots ,$ $x_{n}$ et où $d\omega$ est le produit de $p$ différentielles prises parmi les $n$ différentielles

$dx_{1},\quad dx_{2},\quad \ldots ,\quad dx_{n}.$

Il peut se faire que cette intégrale ait même valeur pour les deux variétés $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} _{0}.$ Nous dirons alors que c’est un invariant intégral.

Il peut arriver aussi que cette intégrale ait même valeur pour les deux variétés $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} _{0},$ mais seulement à la condition que ces deux variétés soient fermées. C’est alors un invariant intégral par rapport aux variétés fermées.

On peut encore imaginer d’autres espèces d’invariants intégraux. Supposons, par exemple, que $p=1$ et que $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} _{0}$ se

1. Le mot variété est maintenant assez usité pour que je n’aie pas cru nécessaire d’en rappeler la définition. On appelle ainsi tout ensemble continu de points (ou de système de valeurs) : c’est ainsi que dans l’espace à trois dimensions, une surface quelconque est une variété à deux dimensions et une ligne quelconque, une variété à une dimension.