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STABILITÉ À LA POISSON.

d’où

$p<{\frac {6}{n-2}}\cdot$

C’est là la condition pour qu’il y ait stabilité à la Poisson.

Application au problème des trois corps.

301.Les considérations qui précèdent s’appliquent au cas où l’équation

(1)

$\sum {\frac {m_{i}}{2}}\left({\frac {dx_{i}}{dt}}\right)^{2}=\mathrm {V} +h$

entraîne comme conséquence que les $x_{i}$ ne peuvent varier qu’entre des limites finies.

Malheureusement, il n’en est pas ainsi dans le problème des trois corps. J’adopterai les notations du n^o 11 ; je désignerai par $x_{1},\,x_{2},\,x_{3}$ les coordonnées du second corps par rapport au premier ; par $x_{4},\,x_{5},\,x_{6}$ celles du troisième par rapport au centre de gravité des deux premiers ; par $a,$ $b,$ $c$ les distances des trois corps, par $\mathrm {M} _{1},$ $\mathrm {M} _{2},$ $\mathrm {M} _{3}$ leurs masses, et enfin par

${\begin{aligned}m_{1}&=m_{2}=m_{3}=\beta ,\\m_{4}&=m_{5}=m_{6}=\beta '\end{aligned}}$

les quantités que j’ai appelées $\beta$ et $\beta '$ au n^o 11.

Nous aurons alors

$\mathrm {V} ={\frac {\mathrm {M} _{2}\mathrm {M} _{3}}{a}}+{\frac {\mathrm {M} _{3}\mathrm {M} _{1}}{b}}+{\frac {\mathrm {M} _{1}\mathrm {M} _{2}}{c}}\cdot$

L’égalité (1) entraîne l’inégalité

(2)

$\mathrm {V} +h>0.$

La fonction $\mathrm {V}$ est essentiellement positive ; si donc la constante $h$ est positive, l’inégalité sera toujours satisfaite ; mais la question est de savoir si l’on peut donner à $h$ des valeurs négatives assez petites pour que l’inégalité ne puisse être satisfaite que pour des valeurs limitées des coordonnées $x_{i}.$ Cela revient à