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CHAPITRE XXVI.

demander si l’inégalité

(3)

${\frac {\mathrm {M} _{2}\mathrm {M} _{3}}{a}}+{\frac {\mathrm {M} _{3}\mathrm {M} _{1}}{b}}+{\frac {\mathrm {M} _{1}\mathrm {M} _{2}}{c}}+h>0$

jointe à celles qui sont imposées aux trois côtés d’un triangle

(4)

$a+b>c,\qquad b+c>a,\qquad a+c>b,$

ne peut être satisfaite que pour des valeurs finies de $a,$ $b,$ $c.$ Prenons $a=c$ et très grand ; prenons $b$ très petit ; les inégalités (4) seront vérifiées d’elles-mêmes.

Quant à l’inégalité (3), qui devient

${\frac {\mathrm {M} _{2}\mathrm {M} _{3}+\mathrm {M} _{1}\mathrm {M} _{2}}{a}}+{\frac {\mathrm {M} _{3}\mathrm {M} _{1}}{b}}+h>0,$

elle peut, quel que soit $h,$ être satisfaite par des valeurs aussi grandes que l’on veut de $a.$

Quelque petit que soit $h,$ quelque grand que soit $a,$ on peut toujours prendre $b$ assez petit pour que le premier membre soit positif.

L’existence des intégrales des aires ne modifie pas cette conclusion ; ces intégrales s’écrivent, en effet :

(5)

$\left\{{\begin{aligned}\beta (x_{2}x_{3}'-x_{3}x_{2}')+\beta '(x_{5}x_{6}'-x_{6}x_{5}')=a_{1},\\\beta (x_{3}x_{1}'-x_{1}x_{3}')+\beta '(x_{6}x_{4}'-x_{4}x_{6}')=a_{2},\\\beta (x_{1}x_{2}'-x_{2}x_{1}')+\beta '(x_{4}x_{5}'-x_{5}x_{4}')=a_{3}.\end{aligned}}\right.$

En vertu de ces équations, on a

(6)

${\frac {\beta }{2}}(x_{1}'^{2}+x_{2}'^{2}+x_{3}'^{2})+{\frac {\beta '}{2}}(x_{4}'^{2}+x_{5}'^{2}+x_{6}'^{2})>{\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}{2\mathrm {I} }},$

où $\mathrm {I}$ est le moment d’inertie qu’aurait un système formé de deux points matériels dont les masses seraient $\beta$ et $\beta '$ et les coordonnées par rapport à trois axes fixes $x_{1},\,x_{2},\,x_{3}\,;$ $x_{4},\,x_{5},\,x_{6}\,;$ le moment d’inertie, dis-je, que ce système aurait par rapport à la droite, qui servirait d’axe instantané de rotation à un solide, qui coïnciderait momentanément avec ce système et tournerait de façon que les constantes des aires soient les mêmes que pour le système.

L’inégalité (2) doit alors être remplacée par la suivante

(2 bis)

$\mathrm {V} +h>{\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}{2\mathrm {I} }}\cdot$