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STABILITÉ À LA POISSON.

On a d’ailleurs

$\sum {\frac {d(\mathrm {MX} _{i}')}{dx_{i}}}=0,$

ce qui veut dire que les équations

(1 bis)

${\frac {dx_{i}}{dt'}}=\mathrm {X} _{i}',$

admettent l’invariant intégral

(2 bis)

$\int \mathrm {M} \,dx_{1}\,dx_{2}\,\ldots \,dx_{n}.$

Supposons que la fonction $\mathrm {M}$ soit toujours positive et qu’elle tende vers zéro quand le point $x_{1},$ $x_{2},\,\ldots ,$ $x_{n},$ s’éloigne indéfiniment, et cela assez rapidement pour que l’intégrale (2 bis) étendue au domaine $\mathrm {V}$ soit finie.

Les conclusions des n^os 297 et suivants sont applicables aux équations (1 bis). Ces équations (1 bis) jouissent donc de la stabilité à la Poisson. Comme, d’ailleurs, elles définissent les mêmes trajectoires que les équations (1), on peut dire, dans un certain sens, que les trajectoires du point $\mathrm {P}$ jouissent aussi de la stabilité à la Poisson.

Je précise ma pensée.

Nous avons

(3)

$t=\int _{0}^{t'}{\frac {dt'}{\mathrm {M} }}\cdot$

Comme $\mathrm {M}$ est essentiellement positif, $t$ croîtra avec $t'\,;$ mais, comme $\mathrm {M}$ peut s’annuler, il peut arriver que l’intégrale du second membre de (3) soit infinie.

Supposons, par exemple, que $\mathrm {M}$ s’annule pour $t'=\mathrm {T} \,;$ alors $t$ sera infini pour

$t'=\mathrm {T}$ ou pour $t'>\mathrm {T} .$

Considérons la trajectoire du point $\mathrm {P} ',$ nous pouvons la diviser en deux parties, la première que $\mathrm {P} '$ parcourt depuis l’époque $t'=0$ jusqu’à l’époque $t'=\mathrm {T} ,$ la seconde $\mathrm {C} '$ que $\mathrm {P} '$ parcourt depuis l’époque $t'=\mathrm {T}$ jusqu’à $t'=\infty .$

Le point $\mathrm {P}$ décrira la même trajectoire que $\mathrm {P} ',$ mais il n’en décrira que la partie $\mathrm {C} ,$ car il ne pourrait atteindre la partie $\mathrm {C} '$ qu’au bout d’un temps $t$ infini.