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CHAPITRE XXII.
expression, fonction des
et de leurs différentielles
Après le
changement des variables, cette expression deviendra une fonction
des
de
et de leurs différentielles
et
Pour passer d’un point de la figure
au point correspondant
de la figure
il faut, sans changer les
changer
en
Donc, en passant d’un arc infiniment petit de
à l’arc correspondant
de
les différentielles
et
ne changent pas (la
quantité
qu’on ajoute à
est en effet la même pour les deux
extrémités de l’arc) ; enfin, si l’on considère une figure infiniment
petite
d’un nombre quelconque de dimensions et la figure correspondante
un produit d’un nombre (égal à celui des dimensions
de
et
) de différentielles
ou
ne changera pas non
plus quand on passera d’une figure à l’autre.
En résumé, pour qu’une expression soit un invariant intégral,
il faut et il suffit que
n’y figure pas ; les
les
et
peuvent y figurer d’une manière quelconque.
Considérons une expression de même forme que celle que nous
avons envisagée dans le paragraphe précédent
(3)
|
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|
cette expression représente une intégrale d’ordre
est une
fonction de
est un produit de
différentielles
prises parmi les
différentielles
![{\displaystyle dx_{1},\quad dx_{2},\quad \ldots ,\quad dx_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4a0541608f757aa70c20f499ca6c71062c1aa07)
Nous voulons savoir si c’est un invariant intégral ; faisant le
changement de variables indiqué plus haut, l’expression (3)
deviendra
![{\displaystyle \int {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} \,d\omega ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c525da2de51a647ec045ca74677008b0f46674d9)
est une fonction des
et de
est un produit de
différentielles prises parmi les
différentielles
![{\displaystyle dy_{1},\quad dy_{2},\quad \ldots ,\quad dy_{n-1},\quad dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23d1f246682c78e9e9f74f410c861745dc10447d)
Pour que l’expression (3) soit un invariant intégral, il faut et il
suffit que tous les
soient indépendants de
et ne dépendent
que des