Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/20

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expression, fonction des x et de leurs différentielles dx. Après Je changement des variables, cette expression deviendra une fonction des y, de z, et de leurs différentielles dy et dz. Pour passer d'un point de la figure F0 au point correspondant de la figure F, il faut, sans changer les y, changer z en z + t. Donc, en passant d'un arc infiniment petit de Fo à l'arc corres- pondant de F, les différentielles dy et dz ne changent pas (la quantité t qu'on ajoute à z est en effet la même pour les deux extrémités de l'arc); enfin, si l'on considère une figure infiniment petite F0 d'un nombre quelconque de dimensions et la figure cor- respondante F, un produit d'un nombre (égal à celui des dimen- sions de F0 et F) de différentielles dy ou dz ne changera pas non plus quand on passera d'une figure à l'autre. En résumé, pour qu'une expression soit un invariant intégral, ilfaut et il suffit que z n'yfigure pas; les y, les dy et dz peuvent y figurer d'une manière quelconque. Considérons une expression de même forme que celle que nous avons envisagée dans le paragraphe précédent (3) Ad, cette expression représente une intégrale d'ordre p, A est une fonction de x1, x2, ..., xn, dw est un produit de p différentielles prises parmi les n différentielles dxi, dx2, dxn. Nous voulons savoir si c'est un invariant intégral; faisant le changement de variables indiqué plus haut, l'expression (3) deviendra JBdw', B est une fonction des y et de z, dw' est un produit de p différen- tielles prises parmi les n différentielles dy 1, dy2, ..., dyn-1, dz. Pour que l'expression (3) soit un invariant intégral, il faut et il suffit que tous les B soient indépendants de z et ne dépendent que des y.