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INVARIANTS INTÉGRAUX.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Reprenons de même, comme dans le numéro précédent, l’expression

(4)

$\int {\sqrt {{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}\,dx_{i}^{2}+2\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{i,k}\,dx_{i}\,dx_{k}}},$

les $\mathrm {B} _{i}$ et les $\mathrm {C} _{i,k}$ étant des fonctions des $x.$

Après le changement de variables, cette expression deviendra

$\int {\sqrt {{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}'\,dx_{i}'^{2}+2\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{i,k}'\,dx_{i}'\,dx_{k}'}}\,;$

j’ai posé, pour plus de symétrie dans les notations,

$x_{i}'=y_{i}\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n-1)\,;\qquad x_{n}'=z.$

Pour que l’expression (4) soit un invariant intégral, il faut et il suffit que tous les $\mathrm {B} _{i}'$ et les $\mathrm {C} _{i,k}'$ soient indépendants de $z$ et ne dépendent que de $y.$

Invariants relatifs.

238.Nous sommes conduits maintenant à chercher à former les invariants intégraux relatifs aux variétés fermées. Supposons d’abord $p=1$ et cherchons quelle est la condition pour que l’intégrale simple

(1)

$\int \left(\mathrm {A} _{1}\,dx_{1}+\mathrm {A} _{2}\,dx_{2}+\ldots +\mathrm {A} _{n}\,dx_{n}\right)$

soit un invariant intégral par rapport aux lignes fermées.

Faisons le changement de variables indiqué plus haut, notre intégrale deviendra

$\int \left(\mathrm {B} _{1}\,dy_{1}+\mathrm {B} _{2}\,dy_{2}+\ldots +\mathrm {B} _{n-1}\,dy_{n-1}+\mathrm {B} _{n}\,dz\right),$

ce que je puis encore écrire, en reprenant la notation plus symétrique de la fin du numéro précédent,

(1 bis)

$\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}\,dx_{i}'.$

Cette intégrale simple, étendue à une variété fermée à une dimension, c’est-à-dire à une ligne fermée, peut être transformée par le