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CHAPITRE XXVII.

premiers termes de la série $\mathrm {S}$ de telle façon que

$\Sigma _{p}=\mathrm {S} _{0}+{\sqrt {\overset {}{\mu }}}\,\mathrm {S} _{1}+\ldots +\mu ^{\frac {p}{2}}\mathrm {S} _{p},$

l’équation

(4 bis)

$x_{1}=m_{1}\,{\frac {d\Sigma _{p}}{dy_{1}'}}+m_{2}\,{\frac {d\Sigma _{p}}{dy_{2}'}}$

sera vraie aux quantités près de l’ordre $\mu ^{\frac {p+1}{2}}.$

Mais l’équation (4 bis) représente une surface fermée et $p$ est aussi grand que l’on veut.

Nous devons donc conclure que la distance $\mathrm {A} _{0}\mathrm {B} _{0}$ est un infiniment petit d’ordre infini (cf. n^os 225 et suivants). D’autre part, la distance $\mathrm {A} _{0}\mathrm {A} _{5}$ (ou $\mathrm {B} _{0}\mathrm {B} _{5}$) est de l’ordre de ${\sqrt {\overset {}{\mu }}}$ et est par conséquent infiniment petit d’ordre ${\tfrac {1}{2}}\cdot$

La distance $\mathrm {A} _{0}\mathrm {B} _{0}$ est donc infiniment petite par rapport à $\mathrm {A} _{0}\mathrm {A} _{1},$ ce qui montre que la quatrième hypothèse doit être rejetée.

La seule hypothèse possible est donc la troisième.

Donc les deux arcs $\mathrm {A} _{0}\mathrm {A} _{5}$ et $\mathrm {B} _{0}\mathrm {B} _{5}$ se coupent.

Application au problème restreint.

313.Je vais appliquer les principes précédents au problème du n^o 9 et j’adopterai les notations de ce numéro ; nous aurons par conséquent les équations canoniques

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}'}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} '}{dy_{i}'}},&{\frac {dy_{i}'}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} '}{dx_{i}'}},\end{aligned}}$

où l’on a posé

(5)

$\left\{{\begin{aligned}x_{1}'&=\mathrm {L} ,&x_{2}'&=\mathrm {G} ,\\y_{1}'&=l,&y_{2}'&=g-t,\\\end{aligned}}\right.$

et, d’autre part,

${\begin{aligned}\mathrm {F} '&=\mathrm {R} +\mathrm {G} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\ldots ,\\\mathrm {F} _{0}&={\frac {1}{{2}x_{1}'^{2}}}+x_{2}'.\end{aligned}}$

Posons maintenant

${\begin{aligned}x_{1}&=\mathrm {L} -\mathrm {G} ,&x_{2}&=\mathrm {L} +\mathrm {G} ,\\2y_{1}&=l-g+t,&2y_{2}&=l+g-t\,;\end{aligned}}$