Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/22

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théorème de Stokes en une intégrale double étendue à une variété non fermée à deux dimensions, c'est-à-dire à une surface non fer- mée; on a Mais l'intégrale du second membre de (2) doit être un invariant intégral absolu et non seulement par rapport aux variétés fermées. Nous conclurons donc ceci : Pour que (1) soit un invariant intégral par rapport aux lignes fermées, il faut et il suffit que les binômes soient tous indépendants de z. De même et plus généralement soit (3) J*A dw une expression intégrale d'ordrep, de même forme d'ailleurs que celles qui ont été envisagées dans les numéros précédents; nous voulons savoir si c'est un invariant intégral par rapport aux variétés fermées d'ordre p. Nous supposons cette intégrale étendue à une variété fermée quelconque d'ordre p; un théorème analogue à celui de Stokes nous apprendra alors qu'elle peut être transformée en une inté- grale d'ordre p + 1 étendue à une variété quelconque, fermée ou non, d'ordre p + 1. L'intégrale transformée s'écrit On prend toujours le signe + si p est pair et alternativement le signe et le signe — si p est impair. [Je renverrai pour plus de détails à mon Mémoire sur les résidus des intégrales doubles (Acta Mathematica, tome VIII), et à mon Mémoire du Cahier du Centenaire du Journal de l'École Polytechnique.] La condition nécessaire et suffisante pour que (3) soit un inva-