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SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.

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CHAPITRE XXVIII.

SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.

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314.Considérons un système d’équations

(1)

${\frac {dx_{i}}{dt}}=\mathrm {X} _{i}\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n),$

où les $\mathrm {X} i$ sont des fonctions de $x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n},$ et de $t,$ périodiques de période $\mathrm {T}$ par rapport à $t.$

Soit

(2)

$x_{i}=\varphi _{i}(t)$

une solution périodique de période $\mathrm {T}$ des équations (1).

Nous allons chercher si les équations (1) admettent d’autres solutions périodiques, très voisines de (2) et dont la période soit multiple de $\mathrm {T} .$

Ces solutions, si elles existent, s’appelleront solutions périodiques du deuxième genre.

Considérons une solution des équations (1), très voisine de (2). Soit

$\varphi _{i}(0)+\beta _{i}$

la valeur de $x_{i}$ pour $t=0$ et

$\varphi _{i}(0)+\beta _{i}+\psi _{i}=\varphi _{i}(k\mathrm {T} )+\beta _{i}+\psi _{i}$

la valeur de $x_{i}$ pour $t=k\mathrm {T}$ ($k$ étant un entier).

Les $\beta _{i}$ et les $\psi _{i}$ dont la définition est ainsi la même qu’au Chapitre III seront très petits et l’on verrait comme au Chapitre III que les $\psi$ sont des fonctions des $\beta ,$ développables suivant les puissances croissantes des $\beta .$

Pour que la solution soit périodique de période $k\mathrm {T} ,$ il faut et