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INVARIANTS INTÉGRAUX.

riant intégral d’ordre $p$ par rapport aux variétés fermées, c’est que (4) soit un invariant intégral absolu d’ordre $p+1.$

239.Reprenons l’expression (1) du numéro précédent et supposons que ce soit un invariant relatif, je veux dire un invariant intégral par rapport aux lignes fermées.

Amenons-la à la forme (1 bis) par notre changement de variables

Soit $\mathrm {M} _{0}$ un point de $\mathrm {F} _{0}$

$y_{1},\quad y_{2},\quad \ldots ,\quad y_{n-1},\quad z$

ses coordonnées (avec les nouvelles variables).

Soit $\mathrm {M}$ le point correspondant de $\mathrm {F}$

$y_{1},\quad y_{2},\quad \ldots ,\quad y_{n-1},\quad z+t$

ses coordonnées. Les $\mathrm {B} _{k}$ seront des fonctions des $y$ et de $z,$ mais je mettrai $z$ en évidence, en écrivant $\mathrm {B} _{k}$ sous la forme

$\mathrm {B} _{k}(z).$

Nous aurons alors, si la ligne $\mathrm {F} _{0}$ est fermée,

$\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{k}(z+t)\,dx_{k}'=\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{k}(z)\,dx_{k}',$

ce qui veut dire que l’expression

(3)

${\textstyle \sum }\,\left[\mathrm {B} _{k}(z+t)-\mathrm {B} _{k}(z)\right]\,dx_{k}'$

est une différentielle exacte que je pose égale à $d\mathrm {V} \,;$ la fonction $\mathrm {V}$ dépendra non seulement des $y$ et de $z,$ mais encore de $t.$ Pour $t=0,$ elle doit se réduire à une constante.

Si nous supposons $t$ infiniment petit et que nous appelions $\mathrm {B} _{k}'(z)$ la dérivée de $\mathrm {B} _{k}(z)$ par rapport à $z,$ l’expression (3) se réduit à

${\textstyle \sum }\,[t\,\mathrm {B} _{k}'(z)]\,dx_{k}'.$

L’expression

(4)

${\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{k}'(z)\,dx_{k}'$

est alors une différentielle exacte que je pose égale à $d\mathrm {U} .$ La fonction $\mathrm {U}$ ainsi définie dépendra des $y$ et de $z,$ mais ne dépendra plus de $t.$ Je mettrai encore $z$ en évidence en écrivant $\mathrm {U} (z)\,;$ il