Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/23

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riant intégral d'ordre p par rapport aux variétés fermées, c'est que (4) soit un invariant intégral absolu d'ordre p + i. 239. Reprenons l'expression (i) du numéro précédent et sup- posons que ce soit un invariant relatif, je veux dire un invariant intégral par rapport aux lignes fermées. Amenons-la à la forme (i bis) par notre changement de variables . Soit Mo un point de F0 1, Y2, • ..., yn-1, Z ses coordonnées (avec les nouvelles variables). Soit M le point correspondant de F 1, Y2, ..., yn-1, ses coordonnées. Les Bk seront des fonctions des y et de z, mais je mettrai z en évidence, en écrivant sous la forme B !,(z). Nous aurons alors, si la ligne F0 est fermée, ce qui veut dire que l'expression est une différentielle exacte que je pose égale à dV ; la fonc- tion V dépendra non seulement des y et de z, mais encore de t. Pour t = o, elle doit se réduire à une constante. Si nous supposons t infiniment petit et que nous appelions B'k(z) la dérivée de Bk(z) par rapport à z, l'expression (3) se réduit à L'expression est alors une différentielle exacte que je pose égale à dU. La fonc- tion U ainsi définie dépendra des y et de z, mais ne dépendra plus de t. Je mettrai encore z en évidence en écrivant U(z); il