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CHAPITRE XXVIII.

tenant aux équations (1)], deux soient nuls et un troisième multiple de ${\frac {2i\pi }{k\,\mathrm {T} }}\cdot$

Supposons cette condition remplie ; on tirera de (3 ter) les $\beta$ et $\tau$ en séries ordonnées suivant les puissances entières ou fractionnaires de $\lambda \,;$ je m’abstiendrai encore ici de la discussion.

Application aux équations de la Dynamique.

319. Je voudrais faire une discussion plus complète de ce qui concerne les équations de la Dynamique ; mais pour cela, j’ai besoin d’abord de démontrer une importante propriété de ces équations.

Soient $\xi _{i}$ et $\eta _{i}$ les valeurs de $x_{i}$ et $y_{i}$ pour $t=0\,;$ soient $\mathrm {X} _{i}$ et $\mathrm {Y} _{i}$ les valeurs de $x_{i}$ et $y_{i}$ pour $t=\mathrm {T} .$ Nous savons que

$\iint \sum \,dx_{i}\,dy_{i}$

est un invariant intégral ; on aura donc

$\iint \sum \left(d\mathrm {X} _{i}\,d\mathrm {Y} _{i}-d\xi _{i}\,d\eta _{i}\right)=0,$

l’intégrale double étant étendue à une aire quelconque $\mathrm {A} .$

Cela peut s’écrire

$\int \sum \left(\mathrm {X} _{i}\,d\mathrm {Y} _{i}-\mathrm {Y} _{i}\,d\mathrm {X} _{i}-\xi _{i}\,d\eta _{i}+\eta _{i}\,d\xi _{i}\right)=0,$

l’intégrale simple étant étendue au contour de l’aire $\mathrm {A} ,$ c’est-à-dire à un contour fermé quelconque.

En d’autres termes, l’expression

$\sum \left(\mathrm {X} _{i}\,d\mathrm {Y} _{i}-\mathrm {Y} _{i}\,d\mathrm {X} _{i}-\xi _{i}\,d\eta _{i}+\eta _{i}\,d\xi _{i}\right)$

est une différentielle exacte.

Il en résulte que

$d\mathrm {S} =\sum {\big [}(\mathrm {X} _{i}-\xi _{i})\,d(\mathrm {Y} _{i}+\eta _{i})-(\mathrm {Y} _{i}-\eta _{i})\,d(\mathrm {X} _{i}+\xi _{i}){\big ]}$

est aussi une différentielle exacte.

320. Si l’on fait varier $\mathrm {T} ,$ il est clair que $\mathrm {S}$ sera fonction de $\mathrm {T} .$