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SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Calculons la dérivée de $\mathrm {S}$ par rapport à $\mathrm {T} ,$ à l’aide des équations

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {X} _{i}}{d\mathrm {T} }}&={\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {Y} _{i}}},&{\frac {d\mathrm {Y} _{i}}{d\mathrm {T} }}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {X} _{i}}}\cdot \end{aligned}}$

Il vient

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {T} }}=\int \sum &\left[{\frac {d\mathrm {X} }{d\mathrm {T} }}\,d(\mathrm {Y} +\eta )-{\frac {d\mathrm {Y} }{d\mathrm {T} }}\,d(\mathrm {X} +\xi )\right.\\&\qquad \qquad \;\left.+(\mathrm {X} +\xi )\,d{\frac {d\mathrm {Y} }{d\mathrm {T} }}-(\mathrm {Y} -\eta )\,d{\frac {d\mathrm {X} }{d\mathrm {T} }}\right],\end{aligned}}$

ou bien

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {T} }}=\int \sum &\left[{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {Y} }}\,d(\mathrm {Y} +\eta )+{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {X} }}\,d(\mathrm {X} +\xi )\right.\\&\qquad \qquad \;\left.-(\mathrm {X} -\xi )\,d{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {X} }}-(\mathrm {Y} -\eta )\,d{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {Y} }}\right],\end{aligned}}$

ou, en intégrant, par parties,

${\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {T} }}=-\!\sum \!\left[(\mathrm {X} \!-\!\xi ){\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {X} }}+(\mathrm {Y} \!-\!\eta ){\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {Y} }}\!\right]+2\!\int \!\sum \!\left({\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {X} }}\,d\mathrm {X} +{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {Y} }}\,d\mathrm {Y} \right)\!,$

ou enfin

${\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {T} }}=2\mathrm {F} -\sum \left[(\mathrm {X} -\xi ){\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {X} }}+(\mathrm {Y} -\eta ){\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {Y} }}\right]+{}$ fonction arbitraire de $\mathrm {T} .$

Nous prendrons la fonction arbitraire de $\mathrm {T}$ égale à une constante $-2\mathrm {C}$ et nous aurons

${\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {T} }}=2(\mathrm {F} -\mathrm {C} )-\sum \left[(\mathrm {X} -\xi ){\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {X} }}+(\mathrm {Y} -\eta ){\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {Y} }}\right]\cdot$

Pour $\mathrm {T} =0,$ on a $d\mathrm {S} =0$ et par conséquent

$\mathrm {C} =\mathrm {const.}$

Nous prendrons cette constante nulle de sorte que $\mathrm {S}$ s’annulera identiquement pour $\mathrm {T} =0\,;$ la fonction $\mathrm {S}$ est ainsi entièrement déterminée.

321.Cherchons les maxima et les minima de la fonction $\mathrm {S} .$ Considérons d’abord $\mathrm {T}$ comme une constante. Pour que la fonction $\mathrm {S}$ présente un maximum ou un minimum, il faut, à supposer que cette fonction $\mathrm {S}$ puisse être regardée comme fonction uniforme des variables $\mathrm {X} _{i}+\xi _{i}$ et $\mathrm {Y} _{i}+\eta _{i}$ dans le domaine considéré, il faut, dis-je, que ses dérivées par rapport à ces