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SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.
On trouvera d’ailleurs
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {T} }}=2\mathrm {F} -\sum \left[(\mathrm {X} -\xi )\,{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {X} }}+(\mathrm {Y} -\eta -2m\pi )\,{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {Y} }}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe8c311223cf4d2ac6be56ed27ee2ad3b9ac41d0)
fonct. arb. de ![{\displaystyle \mathrm {T} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62cd2ca7157c8ae9fcf10598339b774c8294d5ce)
Nous prendrons
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {T} }}=2(\mathrm {F} -\mathrm {C} )-\sum \left[(\mathrm {X} -\xi )\,{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {X} }}+(\mathrm {Y} -\eta -2m\pi )\,{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {Y} }}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efb6c8608708634162f4e8b1de25a66e674ad89f)
Pour
on a
![{\displaystyle d\mathrm {S} =\sum 4m_{i}\pi \,d\xi _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7043c57e8f699aaabfa614dda7d55450d7643103)
Nous prendrons
![{\displaystyle \mathrm {S} =4\pi \sum m_{i}\xi _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5833d2b2d0f5c2c36f85f05c5963f91790c35022)
ce qui achève de déterminer la fonction S.
Les maxima et minima de
en supposant
donné, s’obtiendront
en égalant à zéro ses dérivées, ce qui donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} _{i}&=\xi _{i},&\mathrm {Y} _{i}&=\eta _{i}+2m_{i}\pi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b864714343e2f042d52de635eca6fd4deea9b03)
La solution correspondante est encore une solution périodique
puisque
est un multiple de
La période
est donnée.
Si
n’est pas donné, il faut d’abord que
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} _{i}&=\xi _{i},&\mathrm {Y} _{i}&=\eta _{i}+2m_{i}\pi \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65ef1f8198202b83103bfaf80528311cb0380d79)
et, de plus, que
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{d\mathrm {T} }}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9cfbbe00cb36f3fe769adf8fc0a9d09d4039f7f)
d’où
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a11cbada637750a1082fc51136690e4be094478)
323.Il faut maintenant que nous apprenions à discerner les
véritables maxima et les véritables minima de
en effet, nous
avons seulement jusqu’ici cherché la condition pour que les dérivées
premières de
soient nulles ; mais on sait que cette condition
n’est pas suffisante pour qu’il y ait un maximum ; il faut
encore que les dérivées secondes satisfassent à certaines inégalités.
Supposons-nous d’abord placés dans les conditions du no 319
et regardons
comme donné.
Soit
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t),&y_{i}&=\varphi _{i}^{\prime }(t),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d500333e79f8b67fc8cd003263fa09619ce8960a)