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CHAPITRE XXVIII.

où $\mathrm {C}$ est une constante très petite, se déduit de la solution périodique en donnant au temps un très petit accroissement $\mathrm {C}$ et correspond, par conséquent, à la même valeur de la constante des forces vives que la solution périodique.

Notre relation, qui ne peut se réduire à une identité, se réduit donc à

$\mathrm {D} =0.$

Mais, si $\mathrm {D}$ est nul, le terme $-\mathrm {NTD} ^{2}$ disparaît dans la forme (3).

Pour que $\mathrm {S}$ admette un maximum ou un minimum, il suffit donc que les quantités

${\frac {\mathrm {M} _{k}}{\sqrt {-1}}}\sin {\frac {\alpha _{k}\mathrm {T} }{\sqrt {-1}}}$

soient toutes de même signe.

S’il n’y a que deux degrés de liberté, 'il n’y a qu’une de ces quantités.

Donc, s’il n’y a que deux degrés de liberté et si $\alpha _{k}$ est purement imaginaire, la fonction $\mathrm {S}$ présente toujours soit un maximum, soit un minimum.

326.Supposons-nous maintenant placés dans les conditions du n^o 322, de sorte que

$d\mathrm {S} =\sum \left[(\mathrm {X} _{i}-\xi _{i})\,d(\mathrm {Y} _{i}+\eta _{i})-(\mathrm {Y} _{i}-\eta _{i}-2m_{i}\pi )\,d(\mathrm {X} _{i}+\xi _{i})\right]$

et regardons $\mathrm {T}$ comme une constante. Pour que $\mathrm {S}$ ait un maximum ou un minimum, il faut d’abord que l’on ait une solution périodique

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t),&y_{i}&=\varphi _{i}'(t)\end{aligned}}$

où

${\begin{aligned}\varphi _{i}(t+\mathrm {T} )&=\varphi _{i}(t)\,;&\varphi _{i}'(t+\mathrm {T} )&=\varphi _{i}'(t)+2m_{i}\pi .\end{aligned}}$

Nous envisagerons alors une solution voisine

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t)+x_{i}'\,;&y_{i}&=\varphi _{i}'(t)+y_{i}',\end{aligned}}$

et la discussion se poursuivra comme plus haut ; les résultats sont les mêmes.

Pour qu’il y ait un maximum ou un minimum, il faut d’abord que tous les exposants $\alpha _{k}$ soient purement imaginaires ; il faut