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SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.

2^o Que pour $x_{1}=x_{2}=0,$ $\mathrm {V}$ présente un maximum pour $z>0$ et un minimum pour $z<0.$

Je dis que les équations

${\frac {d\mathrm {V} }{dx_{1}}}={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{2}}}=0$

admettront d’autres solutions réelles que la solution

$x_{1}=x_{2}=0.$

En effet, développons $\mathrm {V}$ suivant les puissances de $z$ et soit

$\mathrm {V} =\mathrm {V} _{0}+z\,\mathrm {V} _{1}+z^{2}\mathrm {V} _{2}+\ldots .$

Les fonctions $\mathrm {V} _{0},\,\mathrm {V} _{1},\,\mathrm {V} _{2},\,\ldots$ sont elles-mêmes développables suivant les puissances de $x_{1}$ et de $x_{2}\,;$ mais ces développements ne contiendront, ni termes de degré 0, ni terme de degré 1, car on doit avoir quel que soit $z$

$\mathrm {V} ={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{1}}}={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{2}}}=0$

pour $x_{1}=x_{2}=0.$

De plus, $\mathrm {V} _{0}$ ne contient pas non plus de termes du second degré, sans quoi en passant de $z>0$ à $z<0,$ on ne saurait passer du cas du maximum au cas du minimum.

Au contraire, $\mathrm {V} _{1}$ contiendra des termes du premier degré, du moins nous le supposerons. Envisageons alors les équations

(1)

$\left\{{\begin{aligned}0&={\frac {d\mathrm {V} _{0}}{dx_{1}}}+z\,{\frac {d\mathrm {V} _{1}}{dx_{1}}}+z^{2}{\frac {d\mathrm {V} _{2}}{dx_{1}}}+\ldots \\0&={\frac {d\mathrm {V} _{0}}{dx_{2}}}+z\,{\frac {d\mathrm {V} _{1}}{dx_{2}}}+z^{2}{\frac {d\mathrm {V} _{2}}{dx_{2}}}+\ldots \end{aligned}}\right.$

qu’il s’agit de résoudre.

Soient $\mathrm {U} _{0}$ et $\mathrm {U} _{1}$ les termes de degré le moins élevé de $\mathrm {V} _{0}$ et de $\mathrm {V} _{1}\,;$ d’après ce que nous avons vu, $\mathrm {U} _{1}$ est de second degré et $\mathrm {U} _{0}$ de degré $p,$ $p$ étant plus grand que 2 ; posons

$(p\!-\!2)\mu =1\,;\quad \;x_{1}=y_{1}t,\quad \;x_{2}=y_{2}t,\quad \;\mathrm {V} =\mathrm {W} t^{p}\,;\quad \;z=\pm t^{p-1}.$

$\mathrm {W}$ peut se développer suivant les puissances de $t\,;$ soit

$\mathrm {W} =\mathrm {W} _{0}+t\,\mathrm {W} _{1}+t^{2}\mathrm {W} _{2}+\ldots .$