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CHAPITRE XXVIII.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

On a évidemment

$\mathrm {W} _{0}=\pm \mathrm {U} _{1}t^{-p}+\mathrm {U} _{0}t^{-p}=\pm \mathrm {U} _{1}'+\mathrm {U} _{0}',$

$\mathrm {U} _{1}'=\mathrm {U} _{1}t^{-p}$ et $\mathrm {U} _{0}'=\mathrm {U} _{0}t^{-p}$ sont deux polynômes homogènes en $y_{1}$ et $y_{2},$ l’un de degré 2, l’autre de degré $p.$ Je prends le signe $+$ ou $-,$ suivant que j’ai pris $z=\pm t^{p-2}.$ L’expression

${\frac {d\mathrm {V} }{dx_{1}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}}{dx_{2}}}-{\frac {d\mathrm {V} }{dx_{2}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}}{dx_{1}}}$

se trouvera aussi développée suivant les puissances de $t$ quand on y aura remplacé $x_{1}$ et $x_{2}$ par $y_{1}t$ et $y_{2}t\,;$ elle contiendra en facteur une certaine puissance de $t\,;$ divisons par ce facteur et soit $\mathrm {H}$ le quotient. Ce quotient développé suivant les puissances de $t$ s’écrira

$\mathrm {H} =\mathrm {H} _{0}+t\,\mathrm {H} _{1}+t^{2}\mathrm {H} _{2}+\ldots \,;$

$\mathrm {H} _{0}$ sera la première des expressions

${\frac {d\mathrm {W} _{k}}{dy_{1}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}'}{dy_{2}}}-{\frac {d\mathrm {W} _{k}}{dy_{2}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}'}{dy_{1}}}$

qui ne s’annulera pas.

Les équations

${\frac {d\mathrm {V} }{dx_{1}}}={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{2}}}=0$

peuvent être remplacées par les suivantes

${\begin{aligned}\mathrm {H} &=0,&{\frac {d\mathrm {W} }{dy_{1}}}&=0,\end{aligned}}$

et je me propose de démontrer que l’on peut tirer de ces équations les $y$ en séries ordonnées suivant les puissances entières et fractionnaires de $t,$ s’annulant avec $t$ et à coefficients réels.

Pour cela, il suffit d’établir, d’après les n^os 32 et 33, que, pour $t=0,$ ces équations admettent une solution réelle d’ordre impair.

Or, pour $t=0,$ ces équations se réduisent à

${\begin{aligned}\mathrm {H} _{0}&=0,&{\frac {d\mathrm {W} _{0}}{dy_{1}}}&=0,\end{aligned}}$