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CHAPITRE XXVIII.
qui précède, nous obtiendrons au moins deux solutions d’ordre
impair.
Soit
l’une de ces solutions ; posons
et substituons dans l’équation (3), nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {U} _{0}'&=\mathrm {A} u^{p},&\mathrm {U} _{1}'&=\mathrm {B} u^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfac6f975070d5a1fba922138ca255fcdf9da00b)
et l’équation (3) se réduit à
![{\displaystyle \mathrm {A} u^{p-2}\pm \mathrm {B} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8de69773d78ec271e174032f2375ee1eb1cd57af)
Si
est impair, cette équation nous donnera une valeur
réelle pour
Si
est pair ; deux cas sont à distinguer.
Si
et
sont de même signe, nous prendrons le signe inférieur
![{\displaystyle \mathrm {A} u^{p-2}-\mathrm {B} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2ce534f5c9d697da96f79ad7001e31ebf4c4704)
Si
et
sont de signes contraires, nous prendrons le signe
supérieur
![{\displaystyle \mathrm {A} u^{p-2}+\mathrm {B} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d2e152abc6ad8a3255db298fdb5a70e50fe4d6b)
et nous aurons toujours deux valeurs réelles pour ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)
Dans tous les cas, ces solutions réelles sont simples.
Ainsi, les équations (2) et (3) admettront toujours des solutions
d’ordre impair.
Deuxième cas. — On a
![{\displaystyle \mathrm {U} _{0}'=\mathrm {A} \left(\mathrm {U} _{1}'\right)^{\frac {p}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c786a8fa43b78fc88887a950a62e183179c563e8)
Nous commencerons alors par résoudre l’équation (3) qui
s’écrit
![{\displaystyle {\frac {p}{2}}\,\mathrm {A} \left(\mathrm {U} _{1}'\right)^{{\frac {p}{2}}-1}\pm 1=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/081568fa751b1021141d03042e023c1d3785a088)
Cette équation nous donne la valeur de
cette valeur est
réelle et simple ; mais cela ne suffit pas, car
est une forme
définie négative ; il faut pour que la solution convienne que la
valeur trouvée pour
soit négative ; nous choisirons en conséquence
le signe
La valeur de
ainsi déterminée, on attribue à
cette valeur