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SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.
constante et l’on n’a plus pour résoudre l’équation (3) qu’à chercher
les maxima et minima de
Comme nous l’avons vu, on
trouvera au moins deux solutions d’ordre impair.
Nous avons donc établi que les équations (2) et (3) ont toujours
des solutions réelles d’ordre impair. Le théorème énoncé au début
de ce numéro est donc démontré.
332.Soit maintenant
une fonction de
variables
et
![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)
Je suppose :
1o Que
est développable suivant les puissances de
et de
2o Que pour
![{\displaystyle x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f082967d49c8aeec358c447f4479f84fa5329f06)
on a quel que soit ![{\displaystyle z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)
![{\displaystyle \mathrm {V} ={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{1}}}={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{2}}}=\ldots ={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{n}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c667bb9459e4fcd2e2092ac3598e744a7efa800c)
3o Envisageons l’ensemble des termes de
qui sont du second
degré par rapport aux
Ils représentent une forme quadratique
qui peut être égalée à la somme de
carrés affectés de coefficients
positifs ou négatifs.
Je suppose que, quand
passe du positif au négatif, deux de
ces
coefficients passent du positif au négatif et que les
autres coefficients ne s’annulent pas.
Je dis que, dans ces conditions, les équations
(1)
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admettent des solutions réelles différentes de
![{\displaystyle x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52bf1250fc2108e116b790ef505b26e63003d3e7)
En effet, développons
suivant les puissances de
et soit
![{\displaystyle \mathrm {V} =\mathrm {V} _{0}+\mathrm {V} _{1}\,z+\mathrm {V} _{2}\,z^{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cafbf0011adbac14faa1916b96f15923b2d3fdd1)
Soient
et
l’ensemble des termes du deuxième degré
de
et
L’ensemble
est une forme quadratique décomposable en
une somme de
carrés ; car nous savons que, pour