235
SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.
constante et l’on n’a plus pour résoudre l’équation (3) qu’à chercher
les maxima et minima de Comme nous l’avons vu, on
trouvera au moins deux solutions d’ordre impair.
Nous avons donc établi que les équations (2) et (3) ont toujours
des solutions réelles d’ordre impair. Le théorème énoncé au début
de ce numéro est donc démontré.
332.Soit maintenant une fonction de variables
et
Je suppose :
1o Que est développable suivant les puissances de et de
2o Que pour
on a quel que soit
3o Envisageons l’ensemble des termes de qui sont du second
degré par rapport aux Ils représentent une forme quadratique
qui peut être égalée à la somme de carrés affectés de coefficients
positifs ou négatifs.
Je suppose que, quand passe du positif au négatif, deux de
ces coefficients passent du positif au négatif et que les
autres coefficients ne s’annulent pas.
Je dis que, dans ces conditions, les équations
(1)
|
|
|
admettent des solutions réelles différentes de
En effet, développons suivant les puissances de et soit
Soient et l’ensemble des termes du deuxième degré
de et
L’ensemble est une forme quadratique décomposable en
une somme de carrés ; car nous savons que, pour