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SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.
ou bien
(2)
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et
(3)
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L’équation (2) exprime que, si l’on suppose et liés par la
relation admet un maximum ou un minimum.
Or, si l’on regarde un instant et comme les coordonnées
d’un point dans un plan, la relation représentera une
ellipse, car la forme quadratique (et par conséquent la
forme ) doit être définie pour que puisse admettre un
maximum ou un minimum. Or, l’ellipse étant une courbe
fermée, la fonction devra présenter au moins un maximum
et un minimum quand le point décrira cette courbe
fermée.
Donc, quelle que soit la valeur constante attribuée à l’équation (2)
admettra au moins deux racines, et deux racines d’ordre impair,
car nous avons vu au no 34 qu’un maximum ou
un minimum correspond toujours à une racine d’ordre impair.
D’ailleurs ici, où nous n’avons plus qu’une variable indépendante,
le théorème du no 34 est presque évident.
Cela posé, deux cas sont à distinguer :
Premier cas. — n’est pas une puissance de dans ce
cas on n’a pas identiquement
On aura donc et
L’équation est alors homogène en et Quelle que
soit la valeur constante attribuée à elle nous donnera pour le
rapport la même valeur.
Nous tirerons donc d’abord de l’équation (2) et, d’après ce