Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/245

233

SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.

ou bien

(2)

${\frac {d\mathrm {W} _{k}}{dy_{1}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}'}{dy_{2}}}-{\frac {d\mathrm {W} _{k}}{dy_{2}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}'}{dy_{1}}}=0$

et

(3)

$\pm {\frac {d\mathrm {U} _{1}'}{dy_{1}}}+{\frac {d\mathrm {U} _{0}'}{dy_{1}}}=0.$

L’équation (2) exprime que, si l’on suppose $y_{1}$ et $y_{2}$ liés par la relation $\mathrm {U} _{1}'=\mathrm {const.} ,$ $\mathrm {W} _{k}$ admet un maximum ou un minimum.

Or, si l’on regarde un instant $y_{1}$ et $y_{2}$ comme les coordonnées d’un point dans un plan, la relation $\mathrm {U} _{1}'=\mathrm {const.}$ représentera une ellipse, car la forme quadratique $\mathrm {U} _{1}$ (et par conséquent la forme $\mathrm {U} _{1}'$) doit être définie pour que $\mathrm {V}$ puisse admettre un maximum ou un minimum. Or, l’ellipse étant une courbe fermée, la fonction $\mathrm {W} _{2}$ devra présenter au moins un maximum et un minimum quand le point $y_{1},\,y_{2}$ décrira cette courbe fermée.

Donc, quelle que soit la valeur constante attribuée à $\mathrm {U} _{1}'$ l’équation (2) admettra au moins deux racines, et deux racines d’ordre impair, car nous avons vu au n^o 34 qu’un maximum ou un minimum correspond toujours à une racine d’ordre impair. D’ailleurs ici, où nous n’avons plus qu’une variable indépendante, le théorème du n^o 34 est presque évident.

Cela posé, deux cas sont à distinguer :

Premier cas. — $\mathrm {U} _{0}'$ n’est pas une puissance de $\mathrm {U} _{1}'\,;$ dans ce cas on n’a pas identiquement

${\frac {d\mathrm {W} _{0}}{dy_{1}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}'}{dy_{2}}}-{\frac {d\mathrm {W} _{0}}{dy_{2}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}'}{dy_{0}}}=0.$

On aura donc $\mathrm {W} _{k}=\mathrm {W} _{0},$ et

$\mathrm {H} _{0}={\frac {d\mathrm {U} _{0}'}{dy_{1}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}'}{dy_{2}}}-{\frac {d\mathrm {U} _{0}'}{dy_{2}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}'}{dy_{1}}}=0.$

L’équation $\mathrm {H} _{0}=0$ est alors homogène en $y_{1}$ et $y_{2}.$ Quelle que soit la valeur constante attribuée à $\mathrm {U} _{1}',$ elle nous donnera pour le rapport ${\frac {y_{1}}{y_{2}}}$ la même valeur.

Nous tirerons donc d’abord ${\frac {y_{1}}{y_{2}}}$ de l’équation (2) et, d’après ce