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SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.

Or, les équations (2), quand on fait $z=0$ et qu’on se restreint aux termes du premier degré par rapport aux $x,$ se réduisent à

${\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dx_{3}}}={\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dx_{4}}}=\ldots ={\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dx_{n}}}=0$

et nous venons de voir que le déterminant fonctionnel correspondant n’est pas nul.

Dans $\mathrm {V} ,$ remplaçons $x_{3},\,x_{4},\,\ldots ,\,x_{n}$ par leurs valeurs tirées ainsi des équations (2) ; je dis que nous allons nous retrouver dans les conditions du numéro précédent :

1^o En effet, nous n’avons plus que trois variables indépendantes $z,$ $x_{1}$ et $x_{2}$ ;

2^o La fonction $\mathrm {V}$ est développable suivant les puissances de ces variables ;

3^o Les équations (1) peuvent être remplacées par

(3)

${\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x_{1}}}={\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x_{2}}}=0,$

où les $\partial \,$ représentent des dérivées prises en regardant les $x_{3},$ $x_{4},\,\ldots ,$ $x_{n}$ comme des fonctions de $x_{1}$ et de $x_{2}$ définies par les équations (2).

Nous avons, en effet,

${\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x_{1}}}={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{1}}}+{\frac {d\mathrm {V} }{dx_{3}}}{\frac {dx_{3}}{dx_{1}}}+{\frac {d\mathrm {V} }{dx_{4}}}{\frac {dx_{4}}{dx_{1}}}+\ldots +{\frac {d\mathrm {V} }{dx_{n}}}{\frac {dx_{n}}{dx_{1}}},$

d’où, en vertu des équations (2),

${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x_{1}}}&={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{1}}},\\{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x_{2}}}&={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{2}}}\,;\end{aligned}}$

4^o Pour $z>0,$ $\mathrm {V} ,$ considéré comme fonction de $x_{1}$ et de $x_{2},$ présente un maximum quand ces deux variables sont nulles.

Pour le voir, il nous faut rechercher dans $\mathrm {V}$ les termes du deuxième degré par rapport à $x_{1}$ et à $x_{2}.$ Soient

$\mathrm {W} _{0}+z\,\mathrm {W} _{1}+z^{2}\mathrm {W} _{2}+\ldots$

ces termes. Pour obtenir

$\mathrm {W} _{0}+z\,\mathrm {W} _{1}$