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SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

senter les dérivées de cette même fonction $\mathrm {S}$ regardée comme fonction des variables (β).

Je me propose de démontrer l’équivalence des équations (1) et (1 bis).

Le n^o 322 nous a donné

$d\mathrm {S} =\sum \left[(\mathrm {X} _{i}-\xi _{i})\,d(\mathrm {Y} _{i}+\eta _{i})-(\mathrm {Y} _{i}-\eta _{i}-2m_{i}\pi )\,d(\mathrm {X} _{i}+\xi _{i})\right],$

Les équations (1) peuvent donc s’écrire

$-(\mathrm {Y} _{i}-\eta _{i}-2m_{i}\pi )=\mathrm {X} _{i}-\xi _{i}=0\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n),$

et les équations (1 bis)

${\begin{aligned}\qquad -(\mathrm {Y} _{i}-\eta _{i}-2m_{i}\pi )=\mathrm {X} _{i}-\xi _{i}&=0\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n-1),\\\mathrm {X} _{n}-\xi _{n}&=0.\end{aligned}}$

Mais, en vertu de l’équation des forces vives, on a identiquement

$\mathrm {F} (\mathrm {X} _{i},\mathrm {Y} _{i})=\mathrm {F} (\xi _{i},\eta _{i}+2m_{i}\pi ).$

Or, d’après les équations (1 bis), tous les $\mathrm {X} _{i}$ sont égaux aux $\xi _{i}$ et tous les $\mathrm {Y} _{i}$ (sauf un), à $\eta _{i}+2m_{i}\pi .$ L’identité précédente peut donc s’écrire de la manière suivante ; j’écris, pour abréger,

$\mathrm {F} (\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{n};\,\eta _{1}\!+\!2m_{1}p,\eta _{2}\!+\!2m_{2}\pi ,\ldots ,\eta _{n-1}\!+\!2m_{n-1}\pi ,\mathrm {Y} _{n})=\mathrm {F} (\mathrm {Y} _{n}).$

Mon identité peut s’écrire sous la forme

$\mathrm {F} \left[\eta _{n}+2m_{n}\pi +(\mathrm {Y} _{n}-\eta _{n}-2m_{n}\pi )\right]-\mathrm {F} \left(\eta _{n}+2m_{n}\pi \right)=0,$

ou, en vertu du théorème des accroissements finis,

(2)

$(\mathrm {Y} _{n}-\eta _{n}-2m_{n}\pi )\,\mathrm {F} '\left[\eta _{n}+2m_{n}\pi +\theta (\mathrm {Y} _{n}\!-\!\eta _{n}\!-\!2m_{n}\pi )\right]=0,$

où $\theta$ est compris entre 0 et 1, et où $\mathrm {F} '$ est la dérivée de $\mathrm {F}$ par rapport à $\mathrm {Y} _{n}.$

Soient $\xi _{i}^{0}$ et $\eta _{i}^{0}$ les valeurs de $\xi _{i}$ et $\eta _{i}$ qui correspondent à la solution périodique de période $\mathrm {T} \,;$ le domaine envisagé ne comprend que le voisinage immédiat du point $\mu =\mu _{0},$ $\xi _{i}=\xi _{i}^{0},$ $\eta _{i}=\eta _{i}^{0}\,;$ donc $\xi _{i}$ et $\mathrm {X} _{i}$ ne s’écarteront jamais beaucoup de $\xi _{i}^{0},$ ni $\eta _{i}$ ou $\mathrm {Y} _{i}-2m_{i}\pi$ de $\eta _{i}^{0}\,;$ donc le second facteur $\mathrm {F} '$ de la relation (2) ne s’écarte jamais beaucoup de sa valeur pour $\xi _{i}=\xi _{i}^{0},$ $\eta _{i}=\eta _{i}^{0},$ et cette valeur ne sera pas nulle en général.