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CHAPITRE XXVIII.

elles admettront également des solutions périodiques de période $p\mathrm {T}$ peu différentes de la solution de période $\mathrm {T}$ et se confondant avec celles-ci quand l’exposant caractéristique devient égal à

{\frac {2k\pi {\sqrt {-1}}}{p\,\mathrm {T} }}.

Ce sont les solutions du deuxième genre.

remarque.

334. Tous ces raisonnements supposent que $\mathrm {S} _{mp}$ est une fonction uniforme de $\mathrm {X} _{i}+\xi _{i},$ $\mathrm {Y} _{i}+\eta _{i}.$ C’est à cette condition seulement que l’on peut affirmer que tous les maxima de $\mathrm {S} _{mp}$ correspondent à une solution périodique (voir n^o 321). Cette circonstance à laquelle il faut faire la plus grande attention, est un obstacle que l’on rencontrera souvent quand on voudra tirer les conséquences du théorème du n^o 321.

Vérifions si $\mathrm {S} _{mp}$ est bien fonction uniforme de ces variables. Nous pouvons supposer $m=1,$ d’après ce que nous venons de voir. D’autre part, $\mathrm {S} _{p}$ est évidemment fonction uniforme des $\xi _{i}$ et des $\eta _{i}\,;$ elle sera aussi fonction uniforme des $\mathrm {X} _{i}+\xi _{i}$ et des $\mathrm {Y} _{i}+\eta _{i},$ pourvu que le déterminant fonctionnel des $\mathrm {X} _{i}+\xi _{i}$ et des $\mathrm {Y} _{i}+\eta _{i}$ par rapport aux $\xi _{i}$ et aux $\eta _{i}$ ne s’annule pas dans le domaine envisagé ; ce domaine se réduisant aux environs immédiats des valeurs

\mu =\mu _{0},\quad \xi _{i}=\xi _{i}^{0},\quad \eta _{i}=\eta _{i}^{0},

il suffira que le déterminant fonctionnel ne soit pas nul en ce point. Or, ce déterminant fonctionnel s’écrit (en supposant $n=2$ pour fixer les idées)

\left|{\begin{array}{cccc}{\dfrac {d\mathrm {X} _{1}}{d\xi _{1}}}+1&{\dfrac {d\mathrm {X} _{1}}{d\eta _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {X} _{1}}{d\xi _{2}}}&{\dfrac {d\mathrm {X} _{1}}{d\eta _{2}}}\\{\dfrac {d\mathrm {Y} _{1}}{d\xi _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{1}}{d\eta _{1}}}+1&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{1}}{d\xi _{2}}}&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{1}}{d\eta _{2}}}\\{\dfrac {d\mathrm {X} _{2}}{d\xi _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {X} _{2}}{d\eta _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {X} _{2}}{d\xi _{2}}}+1&{\dfrac {d\mathrm {X} _{2}}{d\eta _{2}}}\\{\dfrac {d\mathrm {Y} _{2}}{d\xi _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{2}}{d\eta _{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{2}}{d\xi _{2}}}&{\dfrac {d\mathrm {Y} _{2}}{d\eta _{2}}}+1\end{array}}\right|.