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SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.

ne s’annulent pas. Le coefficient que j’ai appelé $\mathrm {D}$ au n^o 323 ne s’annule pas non plus et d’ailleurs il n’y en a pas d’autre puisque nous avons seulement $2n-1$ variables, les variables (β).

Nous sommes donc dans les conditions du numéro précédent et nous pouvons affirmer que les équations

${\frac {d\mathrm {V} }{d\xi _{i}'}}={\frac {d\mathrm {V} }{d\eta _{i}'}}=0$

admettent d’autres solutions réelles que $\xi _{i}'=\eta _{i}'=0$ ou, ce qui revient au même, les équations

(1)

${\frac {d\mathrm {S} _{mp}}{d(\mathrm {X} _{i}+\xi _{i})}}={\frac {d\mathrm {S} _{mp}}{d(\mathrm {Y} _{i}+\eta _{i})}}=0$

admettent d’autres solutions réelles que celles qui correspondent à la solution périodique de période $\mathrm {T} .$

Or, les maxima de la fonction $\mathrm {S} _{mp}$ ou, plus généralement, les solutions des équations (1) correspondent aux solutions périodiques de période $mp\mathrm {T} .$

Nous devons donc conclure que nos équations différentielles admettent des solutions périodiques de période $mp\mathrm {T} ,$ différentes de la solution de période $\mathrm {T} ,$ se confondant avec celle-ci pour $\mu =\mu _{0},$ et en différant très peu pour $\mu$ voisin de $\mu _{0}.$

Si l’on fait attention au raisonnement qui précède, on verra qu’il n’exige pas que la solution périodique de période $\mathrm {T}$ corresponde à un maximum de $\mathrm {S} _{mp}.$

Nous pourrons donc supposer $m=1.$

Il n’exige même pas que la solution de période $\mathrm {T}$ soit stable ; il suffit que l’un des exposants caractéristiques $\alpha _{1}$ soit égal pour $\mu =\mu _{0}$ à

${\frac {2k\pi {\sqrt {-1}}}{p\,\mathrm {T} }}.$

Nous arrivons donc au résultat suivant :

Si les équations de la Dynamique admettent une solution périodique de période $\mathrm {T}$ et telle que l’un des exposants caractéristiques soit voisin de

${\frac {2k\pi {\sqrt {-1}}}{p\,\mathrm {T} }}.$