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CHAPITRE XXIX.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

mière série des équations (1), c’est-à-dire à

${\frac {dx_{i}}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},$

d’où

$\mathrm {J} =\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(-\mathrm {F} +\sum y_{i}\,{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}\right)dt=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathrm {H} \,dt,$

en posant

$\mathrm {H} =-\mathrm {F} +\sum y_{i}\,{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}\cdot$

L’action $\mathrm {J} ,$ ainsi définie, est minimum.

C’est le principe de moindre action mis sous sa forme hamiltonienne.

Supposons maintenant

$h=0.$

Ne regardons donc plus les variables $x_{i}$ et $y_{i}$ comme indépendantes, mais imposons-leur la condition

$\mathrm {F} =0.$

Cette restriction, compatible avec les équations (1), n’empêchera pas l’action $\mathrm {J}$ d’être minimum.

Alors

$\mathrm {J} =\int \sum y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dt}}\,dt$

et, comme $h$ est nul, cette intégrale est minimum quand même on ne regarde pas $t_{1}$ et $t_{0}$ comme donnés.

Imposons-nous alors les conditions

${\frac {dx_{i}}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},$

d’où nous tirons les $y_{i}$ en fonction des ${\frac {dx_{i}}{dt}},$

$y_{i}=\varphi _{i}\!\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},{\frac {dx_{1}}{dt}},{\frac {dx_{2}}{dt}},\ldots ,{\frac {dx_{n}}{dt}}\right)$

ou encore

(7)

$\;y_{i}=\varphi _{i}\!\left(\!x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},{\frac {dx_{1}}{dt}},{\frac {dx_{2}}{dx_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dt}},{\frac {dx_{3}}{dx_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dt}},\ldots ,{\frac {dx_{n}}{dx_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dt}}\!\right).$

Substituons, à la place des $y_{i},$ leurs valeurs (7) dans $\mathrm {J}$ et dans