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DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.
l’équation
![{\displaystyle \mathrm {F} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f13b5357445ac3e26ccc3ae031387565809c6341)
De cette équation, nous tirerons
en fonction des
et
des
Nous substituerons ensuite cette valeur de
dans les
expressions (7) et dans
cette dernière intégrale prendra la
forme
![{\displaystyle \int \sum y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dx_{1}}}\,dx_{1}=\int \Phi \,dx_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40ee48816bae5d7590b509ecb59f6fca80f67557)
où
est fonction des
et des dérivées
Cette intégrale, mise
ainsi sous une forme indépendante du temps, est encore minimum.
C’est là le principe de moindre action sous sa forme maupertuisienne.
Si
n’était pas nul, on n’aurait qu’à changer
en
337.Examinons d’abord le cas particulier le plus important.
Supposons que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {T} -\mathrm {U} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2561d1967ef9e5321078f9ac846aa8e0257bdccf)
étant homogène du second degré par rapport aux variables
tandis que
est indépendant de ces variables.
Il vient alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum y_{i}\,{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}&=2\mathrm {T} ,&\mathrm {H} &=\mathrm {T} +\mathrm {U} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1672ac1f42e1918675a50d2b52b55507e9b17cb4)
D’après le principe de Hamilton, l’intégrale
![{\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(\mathrm {T} +\mathrm {U} \right)\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c48333aa42da54f6a3236819fb07db786b6b5e3)
doit être minimum.
Voyons ce que devient le principe de Maupertuis ; l’équation
des forces vives s’écrit
![{\displaystyle \mathrm {T} -\mathrm {U} =h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7d210c0ec3c29f5ae605bf56589b19870c2e66c)
Alors, l’action maupertuisienne a pour expression
![{\displaystyle \int \left(\mathrm {T} +\mathrm {U} +h\right)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8c079d204170e23ea7079b0c7061344fb6c3170)
Les équations
![{\displaystyle {\frac {dx_{i}}{dt}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}={\frac {d\mathrm {T} }{dy_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c4581df4691a5451b73a504d015b35594051b10)