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DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.
Si le système est isolé, dépendra seulement de
sera une forme quadratique homogène par rapport à
dont les coefficients dépendent seulement de
On aura alors l’équation
où est une constante ; c’est l’intégrale des aires.
Cela posé, soit l’action hamiltonienne
on aura, si les équations du mouvement sont satisfaites,
L’action sera minimum (ou plutôt sa première variation sera
nulle) si les valeurs initiales et finales des et de sont regardées
comme données, c’est-à-dire si pour et
pour
Supposons maintenant que nous regardions comme données les
valeurs initiales et finales des mais pas celles de nous
aurons
Soit alors
et
il viendra évidemment
De l’équation on tire qui est une fonction linéaire
non homogène des on voit ainsi que est une fonction
quadratique non homogène par rapport aux
est donc de la forme étudiée au no 338.
Ainsi l’intégrale sera minimum, alors même que les valeurs
initiale et finale de w ne sont pas regardées comme données.