Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/27

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Il y a un cas en effet où le procédé en question est illusoire, c'est celui où l'invariant que l'on veut transformer est une inté- grale de différentielle exacte. L'invariant intégral auquel con- duirait la transformation serait alors identiquement nul. Si maintenant on transforme un invariant d'ordrep, on obtient un invariant d'ordre p + i, mais cet invariant est une intégrale de différentielle exacte, de sorte que si l'on veut le transformer de nouveau, on tombe sur un résultat identiquement nul. Relation entre les invariants et l'équation aux variations. 242. Reprenons le système Nous pouvons former les équations aux variations correspon- dantes telles qu'elles ont été définies au début du Chapitre IV. Pour former ces équations, on change dans les équations (i) Xi en xi+ i et l'on néglige les carrés des i; on trouve ainsi le système d'équations linéaires Il ya, entre les intégrales des équations (2) et les invariants inté- graux des équations (1), un lien intime qu'il est aisé d'apercevoir. Soit F(1, U, •••> n) = const., une intégrale quelconque des équations (2). Ce sera une fonction homogène par rapport aux £, et dépendant d'ailleurs des x d'une manière quelconque. Je pourrai toujours supposer que cette fonc- tion F est homogène de degré 1 par rapport aux £; car s'il n'en était pas ainsi, je n'aurais qu'à élever F à une puissance conve- nable pour trouver une fonction homogène du degré 1. Considérons maintenant l'expression (3) F(dx1, dx2, ..., dxn), je dis que c'est un invariant intégral du système (1).