Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/28

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J'observe d'abord que la quantité sous le signe J F(dx1, dx2, dxn) est un infiniment petit du premier ordre, puisque dx,, dx2, ...., dXn sont des infiniment petits du premier ordre et que F est homogène du premier ordre par rapport à ces quantités. L'intégrale simple (3) est donc finie. Cela posé, supposons d'abord que la figure F0 se réduise à une ligne infiniment petite, dont les extrémités aient pour coordonnées ' Xl, x2, . •., xn, + + L'intégrale (3) se réduira à un seul élément et sera par consé- quent égale à F(1, h, n). Cette expression étant une intégrale des équations (2) demeurera constante et aura même valeur pour la ligne F0 et pour la ligne F. Si maintenant la ligne F0 et par conséquent la ligne F sont finies, nous décomposerons la ligne F0 en parties infiniment petites. L'in- tégrale (3), étendue à l'une de ces parties infiniment petites de F0, sera égale à l'intégrale (3), étendue à la partie infiniment petite correspondante de F. L'intégrale étendue à la ligne F0 tout entière sera égale à l'intégrale étendue à la ligne F tout entière. Donc l'intégrale (3) est un invariant intégral. c.Q.F.D. Réciproquement, supposons que (3) soit un invariant intégral du premier ordre, je dis que n) sera une intégrale des équations (2). En effet, l'intégrale (3) doit être la même pour la ligne F0 et pour la ligne F, quelles que soient ces lignes, et en particulier, si F0 se réduit à un élément infiniment petit dont les extrémités ont pour coordonnées Xi et xi+\i.