Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/26

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grale (4), et qui est inverse de celle par laquelle, dans le présent numéro, nous avons passé de l'intégrale (i) à l'intégrale (2). L'intégrale (3), étendue à la variété v, est donc égale à l'inté- grale d'ordre p (4) E(z)d' étendue à la variété V. Nous dirons, par analogie avec la terminologie consacrée pour les intégrales simples, que l'intégrale (4) est une intégrale de différentielle exacte. Et en effet : I° Elle est nulle pour toute variété fermée; 20 Elle est réductible à une intégrale d'ordre moindre. Cela posé, on aura J= fE(z + t)d'- les intégrales sont étendues à la variété V. Mais cette égalité peut encore s'écrire [B(z + t)-E(z -t- t)] dw' = [B(z)-E(z)] dw', et elle est vraie pour une variété V quelconque. Cela veut dire que [B(z)- E( ,z )]</(»)' est un invariant intégral absolu. Nous arrivons donc au résultat suivant : Tout invariant intégral relatifest la somme d'une intégrale de différentielle exacte et d'un invariant intégral absolu. 241. Nous avons vu au n° 238 comment, d'un invariant relatif d'ordre p, on pouvait déduire un invariant absolu d'ordre p + 1. Le même procédé est évidemment applicable aux invariants absolus, de sorte qu'on pourrait être tenté de l'appliquer de proche en proche et de construire successivement des invariants d'ordrep+2,p+3, .... Mais on serait promptement arrêté dans cette voie.