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DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

d’où enfin

$\mathrm {H} (x_{i}'+\varepsilon _{i})-\sum \varepsilon _{i}{\frac {d\mathrm {H} }{dx_{i}'}}=\mathrm {H} +\mathrm {H} _{2}(\varepsilon _{i}).$

Le premier membre correspond à la fonction

$f(x_{i}'+\varepsilon _{i})-\sum \varepsilon _{i}{\frac {df}{dx_{i}'}}\,;$

comme la forme quadratique $\mathrm {H} _{2}(\varepsilon _{i})$ est définie positive, nous voyons que l’expression est minimum pour $\varepsilon _{i}=0,$ c’est-à-dire que la condition (A) est remplie.

343.Passons au cas du principe de Maupertuis dans le mouvement absolu. L’intégrale à examiner s’écrit alors

$\int d\tau ,$

où $d\tau ^{2}$ est une forme quadratique définie positive par rapport aux différentielles $dx_{i}.$

Prenons pour un instant $x_{1}$ pour variable indépendante ; l’intégrale devient

$\int {\frac {d\tau }{dx_{1}}}\,dx_{1},$

où $\left({\frac {d\tau }{dx_{1}}}\right)^{2}$ est un polynôme du second degré $\mathrm {P}$ non homogène (mais essentiellement positif), par rapport aux ${\frac {dx_{i}}{dx_{1}}}\cdot$ Soit donc

${\frac {d\tau }{dx_{1}}}={\sqrt {\mathrm {P} \left({\frac {dx_{i}}{dx_{1}}}\right)}}\cdot$

Il s’agit de savoir si

${\sqrt {\mathrm {P} \left({\frac {dx_{i}}{dx_{1}}}+\varepsilon _{i}\right)}}-\sum \varepsilon _{i}\;{\frac {d}{dx_{i}'}}{\sqrt {\mathrm {P} (x_{i}')}}$

est minimum pour $\varepsilon _{i}=0\,;$ ou, en d’autres termes, si la dérivée seconde, par rapport à $t,$ du radical

${\sqrt {\mathrm {P} \left({\frac {dx_{i}}{dx_{1}}}+\varepsilon _{i}t\right)}}$

est positive.