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DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.
degrés de liberté seulement et soient
et
les deux variables qui
définissent la position du système et que nous pourrons regarder
comme les coordonnées d’un point dans un plan.
Soient
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=f_{1}(t),&y&=f_{2}(t)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80458f30292053ceae1b2f5dfe703998289ed5b8)
les équations d’une trajectoire
qui sera une courbe plane.
Posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=f_{1}(t)+\xi ,&y&=f_{2}(t)+\eta ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd49a455f97f9f1c95963f68a8595cf22d728f1a)
et, négligeant les carrés de
et de
formons les équations aux
variations. Comme elles sont linéaires et du quatrième ordre, on
aura donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi &=a_{1}\xi _{1}+a_{2}\xi _{2}+a_{3}\xi _{3}+a_{4}\xi _{4},\\\eta &=a_{1}\eta _{1}+a_{2}\eta _{2}+a_{3}\eta _{3}+a_{4}\eta _{4},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e225adc1e78e930ebb407e2d957c27305ee1827d)
les
étant des constantes d’intégration, les
et les
des fonctions
de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
L’équation du no 341,
![{\displaystyle \Delta (t',t'')=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d25284b69dfd5f8b8d07dadc0af4dd9d5e87a2a)
s’écrit alors
(1)
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C’est cette équation qui définit les foyers hamiltoniens.
Elle exprime que le point
qui décrit la trajectoire
et
le point
qui décrit la trajectoire infiniment voisine
se trouvent à deux époques différentes, à savoir aux
époques
et
séparés par une distance infiniment petite d’ordre
supérieur.
Mais ce ne sont pas là les conditions que doivent remplir les
foyers maupertuisiens. Deux des points de la trajectoire
à
savoir les deux points
et
qui correspondent aux époques
et
doivent être à une distance infiniment petite d’ordre supérieur
de la trajectoire
Mais il n’est pas nécessaire que le
point mobile qui parcourt
passe précisément à l’époque
par exemple, infiniment près de
En revanche, la constante
des forces vives doit avoir la même valeur pour
et pour