Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/29

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L'intégrale (3) se réduit alors, comme nous l'avons vu, à (4) F(1, 2, •••, n) Comme l'intégrale est un invariant, cette expression (4) doit être constante. C'est donc une intégrale des équations (2). c.Q.F.D. Ainsi, à chaque invariant intégral du premier ordre des équa- tions (1) correspond une intégrale des équations (2) et récipro- quement. 213. Voyons maintenant à quoi correspondent les invariants d'ordre supérieur au premier. Considérons deux solutions particulières quelconques des équa- tions (2); soient ces deux solutions. Il peut exister des fonctions F(xi, i, £i) qui dépendent à la fois des xi, des i et des et qui, quelles que soient les deux solutions choisies, se réduisent à des constantes indépendantes du temps. En d'autres termes, la fonction F sera une intégrale du système auquel satisfont les et les Faisons une hypothèse plus particulière et supposons que F soit de la forme les A M étant fonctions des x seulement. Je dis alors que l'intégrale double J= J- Aikdxidxk est un invariant intégral des équations (1).