Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/30

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Supposons, en effet, que la figure F0 se réduise à un parallélo- gramme infiniment petit dont les sommets ont pour coordonnées les valeurs pour t — o de La figure F sera aussi assimilable à un parallélogramme infini- ment petit dont les sommets auront pour coordonnées les valeurs pourt=tde L'intégrale J se réduira à un seul élément qui aura précisément pour valeur et, comme cette expression est par hypothèse une intégrale du système (6), elle aura même valeur pour les deux figures F et F0. Supposons maintenant que F et F0 soient deux surfaces finies; décomposons F0 en parallélogrammes infiniment petits à chacun desquels correspondra un parallélogramme élémentaire de F. La valeur de J est donc la même pour chaque élément de F0 et pour l'élément correspondant de F; elle est donc la même encore pour la surface F0 entière et pour la surface F entière. L'intégrale J est donc un invariant intégral. c.Q.F.D. La réciproque se démontrerait comme au numéro précédent. 244. Le théorème est évidemment général et s'applique aux in- variants d'ordre supérieur à deux. Enonçons-le encore pour ceux d'ordre trois. Considérons trois solutions particulières des équa- tions (2), ces trois solutions devront satisfaire au système Si le système (7) admet une intégrale de la forme