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DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.

Les équations des variations seront

(2 bis)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}\xi ''-2\omega \eta '&={\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dx^{2}}}\,\xi &&+{\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dx\,dy}}\,\eta ,\\\eta ''+2\omega \xi '&={\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dx\,dy}}\,\xi &&+{\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dy^{2}}}\,\eta .\end{alignedat}}\right.$

L’équation des forces vives étant encore vraie, il en sera de même de

(3)

$x'\xi '+y'\eta '=x''\xi +y''\eta .$

Posons encore

$\theta =\xi y'-\eta x',$

les équations (5) et (6) subsisteront.

D’autre part, comme $x'$ et $y'$ doivent satisfaire aux équations (2 bis), on aura

${\begin{alignedat}{5}x'''-2\omega y''&={\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dx^{2}}}\,x'&&+{\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dx\,dy}}\,y',\\y'''+2\omega x''&={\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dx\,dy}}\,x'&&+{\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dy^{2}}}\,y'.\end{alignedat}}$

En tenant compte de ces équations ainsi que des équations (2 bis), et en tenant compte également de l’équation (3), on peut simplifier l’expression de $\theta ''$ et l’on retrouve l’équation

(7)

$\theta ''-\theta \,\Delta \mathrm {U} =2(\xi 'y''-\eta 'x'').$

Comme l’identité du numéro précédent est toujours vraie, on retrouvera les équations (8) et (9) ; il n’y a donc rien à changer aux conclusions du numéro précédent.

355.Mais une nouvelle question se pose.

La trajectoire $(\mathrm {T} )$ est une courbe fermée ; nous avons jusqu’à présent cherché à déterminer si un arc $\mathrm {AB}$ de cette courbe correspondait à une action plus petite que tout arc infiniment voisin ayant mêmes extrémités.

Mais nous pouvons également nous demander si cette courbe fermée tout entière correspond à une action plus petite que toute courbe fermée infiniment petite.

Supposons d’abord qu’un point $\mathrm {A}$ de la courbe $(\mathrm {T} )$ ait son