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DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.

et l’intégrale correspondante de (2)

$x'\xi '+y'\eta '={\frac {d\mathrm {U} }{dx}}\,\xi +{\frac {d\mathrm {U} }{dy}}\,\eta +\delta h$  ($\delta h$ étant une constante).

Pour l’application du principe de Maupertuis, il faut supposer

$\delta h=0,$

de sorte que nous aurons

$x'\xi '+y'\eta '={\frac {d\mathrm {U} }{dx}}\,\xi +{\frac {d\mathrm {U} }{dy}}\,\eta ,$

ou bien

(3)

$x'\xi '+y'\eta '=x''\xi +y''\eta .$

Nos équations (2) et (3) admettront alors trois solutions linéairement indépendantes que nous avons appelées au n^o 345

(4)

$\left\{{\begin{aligned}\xi _{1}&=x',&\eta _{1}&=y'.\\\xi _{2}&&\eta _{2}&\\\xi _{3}&&\eta _{3}&\end{aligned}}\right.$

Posons

(5)

$\theta =\xi y'-\eta x'$

Si alors nous appelons $\theta _{1},\,\theta _{2},\,\theta _{3}$ les trois valeurs de $\theta$ qui correspondent aux trois solutions (4), nous aurons $\theta _{1}=0$ et la fonction que nous avons appelée $\zeta (t)$ au n^o 343 ne sera autre chose que

$\zeta (t)={\frac {\theta _{2}}{\theta _{3}}}\cdot$

De l’équation (5) on tire

(6)

$\theta '=\xi 'y'-\eta 'x'+\xi y''-\eta x''$

et

$\theta ''=\xi y'''-\eta y'''+\xi ''y'-\eta ''x'+2(\xi 'y''-\eta 'x'').$

Mais $x'$ et $y'$ satisfont aux équations (2), de sorte que l’on a

${\begin{alignedat}{4}x''&={\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dx^{2}}}\,x'&&+{\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dx\,dy}}\,y',\\y''&={\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dx\,dy}}\,x'&&+{\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dy^{2}}}\,y'.\end{alignedat}}$

Remplaçons dans l’expression de $\theta '',$ les dérivées $x'''$ et $y'''$ par les