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INVARIANTS INTÉGRAUX.

où les $\mathrm {A}$ sont fonctions des $x,$ l’intégrale triple

(9)

$\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ikl}\,dx_{i}\,dx_{k}\,dx_{l}$

sera un invariant intégral des équations (1) et réciproquement.

Transformation des invariants.

245.Les invariants étant ainsi ramenés aux intégrales de l’équation aux variations, on trouve facilement un très grand nombre de procédés qui permettent de transformer ces invariants.

Si l’on connaît un certain nombre d’invariants intégraux des équations

(1)

${\frac {dx_{i}}{dt}}=\mathrm {X} _{i},$

on déduira de chacun d’eux une intégrale des équations aux variations

(2)

${\frac {d\xi _{k}}{dt}}=\sum {\frac {d\mathrm {X} _{k}}{dx_{i}}}\xi _{i}.$

En combinant entre elles ces diverses intégrales, on obtiendra une nouvelle intégrale des équations (2), d’où l’on déduira un nouvel invariant des équations (1).

Commençons par étudier le cas des invariants de premier ordre.

Soient

$\Phi _{1},\quad \Phi _{2},\quad \ldots ,\quad \Phi _{p},$

un certain nombre d’intégrales des équations (1), ces intégrales seront des fonctions des $x_{i}$ seulement.

Soient maintenant

$\int \mathrm {F} _{1}(dx_{i}),\quad \int \mathrm {F} _{2}(dx_{i}),\quad \ldots ,\quad \int \mathrm {F} _{q}(dx_{i}),\quad$

$q$ invariants intégraux du premier ordre de ces mêmes équations (1).

Les fonctions sous le signe $\textstyle \int$

$\mathrm {F} _{1}(dx_{i}),\quad \mathrm {F} _{2}(dx_{i}),\quad \ldots ,\quad \mathrm {F} _{q}(dx_{i}),\quad$