Pour chaque point du plan, pourvu que soit assez petit, passe une courbe (2) et une seule. Il ne pourrait en être autrement que si les coefficients de et de s’annulaient à la fois, ce qui ne pourrait avoir lieu que si le déterminant fonctionnel de et de par rapport à et à s’annulait ; nous avons vu qu’il n’en était pas ainsi.
Les courbes (2) sont représentées sur la figure (11) en trait mixte —··—··—··
Soient deux de ces courbes infiniment voisines ; elles interceptent sur l’arc sur les courbes (1) les arcs sur l’arc
Il me suffit, pour mon objet, d’établir que l’action de est plus grande que pour l’arc correspondant de
Nous avons, en effet,
et, dans le triangle rectangle curviligne infiniment petit
On a donc
et, par conséquent,
358.Il reste à voir si le même résultat subsiste encore pour le mouvement relatif.
L’irréversibilité des équations constitue évidemment une différence considérable avec le cas précédent. L’action pour un arc quelconque n’est plus la même que pour le même arc parcouru en sens contraire. D’ailleurs, si une courbe quelconque satisfait aux équations différentielles, il n’en sera pas de même de la même courbe parcourue en sens contraire.
Enfin, les trajectoires orthogonales des courbes (1) ne jouiront plus de la propriété fondamentale que j’ai énoncée dans le numéro précédent. Mais il y a d’autres courbes que je vais définir et qui jouissent de cette propriété. Cela suffit pour que le résultat du numéro précédent subsiste.
