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CHAPITRE XXIX.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Nous avons, au n^o 340, trouvé pour l’expression de l’action

$\mathrm {J} '=\int \left[ds\,{\sqrt {\mathrm {H} _{0}+h}}+\omega '(\xi \,d\eta -\eta \,d\xi )\right].$

Pour simplifier, je poserai ${\sqrt {\mathrm {H} _{0}+h}}=\mathrm {F} \,;$ je désignerai les coordonnées non plus par $\xi$ et $\eta ,$ mais par $x$ et $y$ pour me rapprocher des notations employées dans les numéros précédents et la vitesse angulaire non plus par $\omega ',$ mais par $\omega$ en supprimant l’accent devenu inutile. J’aurai alors

$\mathrm {J} '=\int \left[\mathrm {F} {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}+\omega \,(x\,dy-y\,dx)\right],$

d’où

${\begin{aligned}\delta \mathrm {J} '=\int {\Big [}\delta \mathrm {F} \,ds&+\mathrm {F} {\frac {dx\,\delta dx+dy\,\delta dy}{ds}}\\&+\omega \,(\delta x\,dy-\delta y\,dx)+\omega \,(x\,\delta dy-y\,\delta dx){\Big ]}\end{aligned}}$

ou, en intégrant par parties,

(4)

$\left\{{\begin{aligned}\delta \mathrm {J} '\!=\!\int &\left[\delta \mathrm {F} \,ds\!+\!2\omega (\delta x\,dy\!-\!dy\,dx)\!-\!\delta x\,d\!\left(\!{\frac {\mathrm {F} \,dx}{ds}}\!\right)\!-\!\delta y\,d\!\left(\!{\frac {\mathrm {F} \,dy}{ds}}\!\right)\right]\\+&\left[\mathrm {F} {\frac {dx\,\delta x\!+\!dy\,\delta y}{ds}}+\omega (x\,\delta y\!-\!y\,\delta x)\right]_{0}^{1}.\end{aligned}}\right.$

L’expression définitive de $\delta \mathrm {J} '$ comprend donc deux parties : une intégrale définie qui doit être prise entre les mêmes limites que l’intégrale $\mathrm {J} '$ et une partie toute connue que j’ai placée suivant l’usage entre deux crochets avec les indices 0 et 1, cette notation signifiant qu’on doit calculer l’expression entre crochets pour les deux limites d’intégration et faire ensuite la différence.

Supposons maintenant que l’on égale à zéro l’expression qui figure sous le signe $\textstyle \int$ dans le second membre de (4). On obtiendra des équations différentielles qui seront précisément les équations du mouvement et auxquelles satisferont toutes nos trajectoires et en particulier les courbes (1).

Ces équations peuvent s’obtenir d’une infinité de manières parce que $\delta x$ et $\delta y$ sont deux fonctions entièrement arbitraires.

Nous pouvons d’abord supposer $\delta x=0$ d’où $\delta \mathrm {F} ={\frac {d\mathrm {F} }{dy}}\,\delta y,$ et notre équation s’écrira, en divisant par $\delta y\,ds,$

(6)

${\frac {d\mathrm {F} }{dy}}-2\omega {\frac {dx}{ds}}={\frac {d\mathrm {F} }{ds}}{\frac {dy}{ds}}+\mathrm {F} {\frac {d^{2}y}{ds^{2}}}\cdot$