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FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.
Cela posé, nous allons voir comment on peut rattacher la
recherche des solutions périodiques du second genre, soit à
l’analyse du no 274, soit à l’analyse du no 44.
361.Rappelons les résultats obtenus aux nos 273 à 277. Soient
des équations canoniques
(1)
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contenant un paramètre
et supposons qu’elles admettent une
solution périodique
(2)
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de période
correspondant à la valeur
de la constante des
forces vives, et à
On satisfera formellement aux équations (1)
par des séries de la forme suivante ; ces séries procéderont
suivant les puissances des quantités
![{\displaystyle \lambda ,\quad \mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}t},\quad \mathrm {A} _{k}'e^{-\alpha _{k}t}\qquad (k=1,\,2,\,\ldots ,\,n-1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dc7c719c14cb26b733b525b83e89e0c1ac8260b)
Les coefficients seront des fonctions périodiques de
dépendant en outre de la constante des forces vives
La
période
dépendra aussi de
et des produits
elle se
réduira à
pour
![{\displaystyle \mathrm {C} =\mathrm {C} _{0},\quad \mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'=0,\quad \lambda =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8c5176f2f6f9e31ad74a6782de8b00aeb12ebb2)
Les exposants
sont des constantes développables suivant les
puissances de
et des produits
et dépendent en outre de
ils se réduisent aux exposants caractéristiques de la solution (2)
pour
![{\displaystyle \mathrm {C} =\mathrm {C} _{0},\quad \mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'=0,\quad \lambda =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8c5176f2f6f9e31ad74a6782de8b00aeb12ebb2)
Les
les
et
sont des constantes d’intégration.
Dans l’étude des solutions asymptotiques, nous avons supposé
que les
étaient réels et nous avons annulé une des constantes
sur deux.
Pour appliquer ces mêmes résultats à l’étude des solutions
périodiques du second genre, nous supposerons au contraire que
les exposants
sont purement imaginaires.