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FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.
Cela posé, nous allons voir comment on peut rattacher la
recherche des solutions périodiques du second genre, soit à
l’analyse du no 274, soit à l’analyse du no 44.
361.Rappelons les résultats obtenus aux nos 273 à 277. Soient
des équations canoniques
(1)
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contenant un paramètre et supposons qu’elles admettent une
solution périodique
(2)
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de période correspondant à la valeur de la constante des
forces vives, et à On satisfera formellement aux équations (1)
par des séries de la forme suivante ; ces séries procéderont
suivant les puissances des quantités
Les coefficients seront des fonctions périodiques de
dépendant en outre de la constante des forces vives La
période dépendra aussi de et des produits elle se
réduira à pour
Les exposants sont des constantes développables suivant les
puissances de et des produits et dépendent en outre de
ils se réduisent aux exposants caractéristiques de la solution (2)
pour
Les les et sont des constantes d’intégration.
Dans l’étude des solutions asymptotiques, nous avons supposé
que les étaient réels et nous avons annulé une des constantes
sur deux.
Pour appliquer ces mêmes résultats à l’étude des solutions
périodiques du second genre, nous supposerons au contraire que
les exposants sont purement imaginaires.