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CHAPITRE XXII.

dépendront des $x_{i}$ et de leurs différentielles $dx_{i}.$ Elles pourront dépendre des $x_{i}$ d’une manière quelconque ; mais par rapport aux différentielles

$dx_{1},\quad dx_{2},\quad \ldots ,\quad dx_{n},$

elles devront être homogènes et du premier ordre.

Alors

$\mathrm {F} _{1}(\xi _{i}),\quad \mathrm {F} _{2}(\xi _{i}),\quad \ldots ,\quad \mathrm {F} _{q}(\xi _{i})$

seront des intégrales des équations (2) et seront homogènes et du premier ordre par rapport aux $\xi _{i}.$

Soit maintenant

$\Theta \left(\Phi _{1},\Phi _{2},\ldots ,\Phi _{p};\mathrm {F} _{1},\mathrm {F} _{2},\ldots ,\mathrm {F} _{q}\right)=\Theta \left[\Phi _{k},\mathrm {F} _{i}\right],$

une fonction des $\Phi$ et des $\mathrm {F} ,$ dépendant des $\Phi$ d’une manière quelconque, mais homogène et du premier ordre par rapport aux $\mathrm {F} .$

Alors

$\Theta \left[\Phi _{k},\mathrm {F} _{l}(\xi _{i})\right]$

sera une nouvelle intégrale des équations (2) ; de plus ce sera une fonction homogène et du premier ordre par rapport aux $\xi _{i}.$

Il en résulte que

$\int \Theta \left[\Phi _{k},\mathrm {F} _{l}(dx_{i})\right]$

est un invariant intégral du premier ordre des équations (1).

On aurait pu arriver tout aussi facilement au même résultat en transformant les invariants par le changement des variables du n^o 237.

Par exemple

$\int \left(\mathrm {F} _{1}+\mathrm {F} _{2}+\ldots +\mathrm {F} _{q}\right)$

et

$\int {\sqrt {\mathrm {F} _{1}^{2}+\mathrm {F} _{2}^{2}+\ldots +\mathrm {F} _{q}^{2}}}$

seront des invariants intégraux.

246.Le même calcul peut s’appliquer aux invariants d’ordre plus élevé.

Soient encore

$\Phi _{1},\quad \Phi _{2},\quad \ldots ,\quad \Phi _{p},$