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FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.
Ainsi, nous voyons que
sont des fonctions périodiques
de
et de
Ils seront donc développables en séries de
Fourier de la forme
![{\displaystyle \sum \mathrm {A} e^{i(pt+qnt+q\varpi )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2f18512d01dabb85c22e37e7a46800bb0137af)
Mais on peut ajouter quelque chose de plus ; nous avons à
traiter des équations de la forme suivante
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\xi }{dt}}=\mathrm {X} &=\sum \mathrm {A} e^{i(pt+qnt+q\varpi )},&{\frac {d\eta }{dt}}+in\eta =\mathrm {Y} &=\sum \mathrm {B} e^{i(pt+qnt+q\varpi )},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/269de4c4fd1bb274fd9f637839277a0980e70f30)
nous en tirerons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi &=\sum {\frac {\mathrm {A} }{i(p+qn)}}e^{i(pt+qnt+q\varpi )}+\gamma ,\\\eta &=\sum {\frac {\mathrm {B} }{i(p+qn+n)}}e^{i(pt+qnt+q\varpi )}+\gamma 'e^{-int},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f64d52f03c7786406daf0e0ec62596ad5f75fa91)
où
et
sont des constantes d’intégration.
Si donc
et
sont des polynômes entiers et homogènes par
rapport à
![{\displaystyle {\sqrt {\xi _{0}}},\quad {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}\,e^{i(nt+\varpi )},\quad {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}\,e^{-i(nt+\varpi )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c254f2b39195f4b0d7f8e8b3fb74d9813ff617f0)
il en sera de même de
et de
au moins si l’on suppose nulles
les constantes
et
Si l’on ne suppose pas ces constantes nulles,
et
seront encore des polynômes entiers, mais non homogènes.
Appliquons ces principes aux quantités que nous venons de
calculer ; nous voyons que
![{\displaystyle {\frac {d\Theta _{1}}{d\xi _{0}}},\quad {\frac {d\Theta _{1}}{d\eta _{0}}},\quad {\frac {d\Theta _{1}}{d\xi _{0}'}},\quad {\frac {d\Theta _{1}}{d\eta _{0}'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a02ab57d6d39a6e4d541266556dbfb2d74ed67e8)
étant des polynômes, qui, d’après les conventions que nous avons
faites sur les degrés, sont respectivement de degrés
![{\displaystyle 1,\quad 3,\quad 2,\quad 2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0908eb45bd97d15af578ea43f34ffe0a883494ea)
il en sera donc de même de
![{\displaystyle \eta _{1},\quad \xi _{1},\quad \eta _{1}',\quad \xi _{1}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d420dd6d569a4c0cd5e81288f41abb77ecdeabfd)
Quand on aura substitué dans
à la place de ces quantités
leurs valeurs qui sont respectivement des degrés 1, 3, 2, 2, on