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CHAPITRE XXX.
voit que
deviendra un polynôme du 4e degré et que
![{\displaystyle {\frac {d\Theta _{2}}{d\xi _{0}}},\quad {\frac {d\Theta _{2}}{d\eta _{0}}},\quad {\frac {d\Theta _{2}}{d\xi _{0}'}},\quad {\frac {d\Theta _{2}}{d\eta _{0}'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98582501e032001b83c901ee9a39b3bf0a00c9f4)
seront respectivement des polynômes de degrés
![{\displaystyle 2,\,\quad 4,\quad 3,\quad 3.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6d5eb26ac5790a4517ce92ffbd1403f4d1ae9fe)
Nous pouvons généraliser ce résultat.
Les équations (5) et (5 bis) nous permettent de calculer de
proche en proche les inconnues
on ne serait arrêté
que si la valeur moyenne du second membre de l’une des équations (5)
était différente de zéro.
Supposons que cette circonstance ne se présente pas ; je dis que
![{\displaystyle \xi _{k},\quad \eta _{k},\quad \xi _{k}',\quad \eta _{k}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f36714e87e20b1b0078681608cb9519310b64e1)
seront des polynômes de degrés
![{\displaystyle k+2,\quad k,\quad k+1,\quad k+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3da1de16920fbc1889d442701b384f9fd2a30e73)
par rapport à
(10)
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les coefficients de ces polynômes étant eux-mêmes des fonctions
périodiques de
de période ![{\displaystyle 2\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a597bc393cb175d7b44b9bdfdbadc1fb7dc23aa)
Supposons, en effet, que cela soit vrai pour toutes les valeurs
de l’indice inférieures à
Nous savons que
est un polynôme entier de degré
par rapport à
(11)
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en supposant ces quantités respectivement de degré
Si donc nous substituons à la place des quantités (11)
des polynômes dont le degré par rapport aux quantités (10)
soit précisément
il est évident
que le résultat de la substitution sera un polynôme de degré
par rapport aux quantités (10).
Donc
est un polynôme de degré
par rapport aux
quantités (10) et pour la même raison
![{\displaystyle {\frac {d\Theta _{k}}{d\xi _{0}}},\quad {\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}}},\quad {\frac {d\Theta _{k}}{d\xi _{0}'}},\quad {\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a91c58652d25ad71bcf2c95781456879fdd3259d)