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FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.
seront des polynômes de degrés
![{\displaystyle k,\quad k+2,\quad k+1,\quad k+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5436b5b913fe2686f8ef9a1428ec1c557a6b96d0)
par rapport à ces mêmes quantités.
Il en est donc de même des seconds membres des première,
deuxième, cinquième et sixième équations (7) ; et, par conséquent,
en répétant le raisonnement qui précède, nous verrions
aisément qu’il en est encore de même de
C. Q. F. D.
L’intégration des équations (7) a introduit quatre nouvelles
constantes d’intégration. En effet, elles nous font connaître
à des termes près
![{\displaystyle \gamma _{1},\quad \delta _{1},\quad \gamma _{1}'e^{+i(nt+\varpi )},\quad \delta _{1}'e^{-i(nt+\varpi )},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcba5eb7e573282a7e73aef53a59a14125763c9b)
contenant les quatre constantes arbitraires
![{\displaystyle \gamma _{1},\quad \delta _{1},\quad \gamma _{1}',\quad \delta _{1}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18a90faf9273d60cfa33720d5fa3de5db514eed5)
Nous ne conserverons qu’une de ces constantes et nous poserons
![{\displaystyle \gamma _{1}=\delta _{1}=0,\qquad \delta _{1}'=-\gamma _{1}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67516a8e49fd05b272c2217ead4a11e2b34c676e)
Cela posé, cherchons à déterminer
![{\displaystyle \xi _{2},\quad \eta _{2},\quad \xi _{2}',\quad \eta _{2}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ded318bc73ef62750f9ec5e436965f64af774e5)
à l’aide des équations (5) et (5 bis) et en y faisant ![{\displaystyle k=2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/090a4d3b2c87ca76bab993bdfc89426e26a7a509)
Il faut d’abord que le second membre de la première équation (5)
ait sa valeur moyenne nulle ; cette valeur moyenne est
égale à
![{\displaystyle \left[{\frac {d\Theta _{2}}{d\eta _{0}}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e464bfe2a1739a3be78cb2f9e092827b2d5cae8)
en employant toujours les crochets pour représenter la valeur
moyenne d’une fonction. On devra donc avoir
(9 bis)
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Supposons
développé en série de Fourier sous la forme
![{\displaystyle \sum \mathrm {A} e^{i(pt+qnt+q\varpi )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2f18512d01dabb85c22e37e7a46800bb0137af)
Comme
est un polynôme du quatrième degré,
ne pourra