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CHAPITRE XXX.

les fonctions $\varphi _{i}$ et $\psi _{i}$ étant développables suivant les puissances croissantes de $\mu .$

Considérons l’une de ces solutions (2).

Soit $\mathrm {T}$ la période et $\alpha$ l’un des exposants caractéristiques ; il y en aura deux, différents de zéro, égaux et de signes contraires où nous supposons deux degrés de liberté.

On a vu au Chapitre IV que $\alpha$ dépend de $\mu$ et est développable suivant les puissances de ${\sqrt {\overset {}{\mu }}}.$ Quand $\mu$ variera d’une manière continue, il en sera de même de $\alpha \,;$ supposons que, pour $\mu =\mu _{0},$ $\alpha \mathrm {T}$ soit commensurable avec $2i\pi$ et égal à $2ni\pi .$

Nous pourrons en conclure que, pour $\mu$ voisin de $\mu _{0},$ il existe des solutions du second genre, dérivées de (2) et dont la période est $(k+2)\mathrm {T} ,$ $k+2$ désignant le dénominateur de $n.$

Si nous laissons de côté les cas où $k+2$ est égal à $2,\,3$ ou $4,$ nous avons vu que deux de ces solutions existent quand $\lambda$ (ici $\mu -\mu _{0}$) a un certain signe, et qu’il n’en existe pas quand $\lambda$ (ici $\mu -\mu _{0}$) a le signe opposé.

j’ai dit que j’ai laissé de côté les cas où $k+2=2,\,3,\,4\,;$ je puis le faire sans inconvénient. En effet

${\frac {\alpha \mathrm {T} }{2i\pi }}=n$

est développable suivant les puissances de ${\sqrt {\overset {}{\mu }}}$ et s’annule avec ${\sqrt {\overset {}{\mu }}}.$ Pour les petites valeurs de $\mu ,$ $n$ est donc très petit et son dénominateur est certainement plus grand que 4.

Nous nous trouvons donc en présence de deux hypothèses :

Ou bien les solutions du second genre existent seulement pour $\mu >\mu _{0},$ ou bien elles existent seulement pour $\mu <\mu _{0}.$

Quelle est celle de ces deux hypothèses qui est réalisée ?

Tout dépend du signe d’une certaine quantité $\mathrm {Q}$ dépendant elle-même des coefficients de $u_{0}$ et $\xi _{0}$0 dans

$\left[{\frac {d\Theta _{2}}{d\xi _{0}}}\right],\quad \left[{\frac {d\Theta _{2}}{du_{0}}}\right]\cdot$

Pour déterminer ce signe, nous n’aurons pas besoin de former effectivement cette quantité et les considérations suivantes suffiront.