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FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.
369.Prenons d’abord un cas simple qui sera celui du no 199 :
soit
![{\displaystyle \mathrm {F} =x_{2}+x_{1}^{2}+\mu \cos y_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7af0e7baa7d06c1ea26c881c90dd44c0c405fba2)
avec les équations canoniques
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/438bc34566b50ec57a2f8f1474e289b6dc5c84b4)
ce qui donne
(1)
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La fonction
de Jacobi s’écrit
![{\displaystyle \mathrm {S} =x_{2}^{0}y_{2}+\int {\sqrt {\mathrm {C} -\mu \cos y_{1}}}\,dy_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeadd59a9c2244038610bcc0bfc745f4777a4175)
avec deux constantes
et
et l’on en tire
(2)
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et
étant deux nouvelles constantes d’intégration.
On voit s’introduire l’intégrale elliptique
(3)
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cette intégrale possède une période réelle, qui est l’intégrale prise
entre
et
si
et deux fois l’intégrale prise entre
![{\displaystyle \pm \operatorname {arc~cos} \left|{\frac {\mathrm {C} }{\mu }}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/676a3733f479372b7c79f06cabf3a5f9cdb2e14f)
si ![{\displaystyle |\mathrm {C} |<|\mu |.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bda1623f8a474866912290a3a98a5b5eef4d800b)
Appelons
cette période réelle.
À toute valeur de
commensurable avec
correspond une
solution périodique ; mais deux cas sont à distinguer.
Si
et
pendant une période augmentent d’un
multiple de
Les solutions périodiques correspondantes sont
des solutions du premier genre.
Si
pendant une période augmente d’un multiple