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FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.

Si enfin le dénominateur de $n$ est égal à 2, $\left[\Theta _{2}\right],\,\left[{\frac {d\Theta _{2}}{d\xi _{0}}}\right],\,\left[{\frac {d\Theta _{2}}{du_{0}}}\right]$ contiennent des termes en $e^{\pm 4i\varpi },$ $e^{\pm 2i\varpi }.$

L’équation en $\varpi$ prend la forme

$\mathrm {A} \cos(4\varpi +\mathrm {B} )+\mathrm {A} '\cos(2\varpi +\mathrm {B} ')=0$

et elle admet huit solutions

${\begin{array}{cccc}\varpi _{0},&\varpi _{0}+{\dfrac {\pi }{2}},&\varpi _{0}+\pi ,&\varpi _{0}+{\dfrac {3\pi }{2}},\\\varpi _{1},&\varpi _{1}+{\dfrac {\pi }{2}},&\varpi _{1}+\pi ,&\varpi _{1}+{\dfrac {3\pi }{2}}\cdot \end{array}}$

Des deux quantités $\varpi _{0}$ et $\varpi _{1}$ une au moins est réelle.

Les hypothèses suivantes restent possibles : $(4,0),$ $(3,1),$ $(2,2),$ $(1,3),$ $(0,4),$ $(2,0),$ $(1,1),$ $(0,2).$

Le premier nombre entre parenthèses représente le nombre des solutions périodiques pour $\lambda >0$ et le second est ce même nombre pour $\lambda <0.$

La fonction de la page 246 devient

$\mathrm {A} \rho ^{4}\!\cos 4\varphi +\mathrm {B} \rho ^{4}\!\cos 2\varphi +\mathrm {C} \rho ^{4}\!\sin 2\varphi +\mathrm {D} \rho ^{4}-z\rho ^{2}.$

Application aux équations du n^o 13.

368.Revenons aux équations canoniques de la Dynamique :

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\cdot \end{aligned}}$

Je suppose comme au n^o 13, aun^o 42, au n^o 125, etc. que $\mathrm {F}$ est une fonction périodique des $y,$ développable suivant les puissances d’un paramètre $\mu ,$ sous la forme

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\ldots$

et que $\mathrm {F} _{0}$ dépend seulement des $x.$

Nous avons vu alors au n^o 42 que ces équations admettent une infinité de solutions périodiques du premier genre

(2)

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t),&y_{i}=\psi _{i}(t)\end{aligned}}$