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CHAPITRE XXX.

de $2\pi$ et $y_{1}$ revient à sa valeur primitive. Les solutions correspondantes sont des solutions du second genre.

À cette énumération il faut adjoindre deux solutions périodiques remarquables qui doivent être considérées comme du premier genre. Soit $\mu >0,$ ces solutions seront

(4)

$\left\{{\begin{aligned}x_{2}&=x_{2}^{0},&y_{2}&=-t+y_{2}^{0},&\mathrm {C} &=\mu ,&x_{1}&=0,&y_{1}&=0,\\x_{2}&=x_{2}^{0},&y_{2}&=-t+y_{2}^{0},&\mathrm {C} &=-\mu ,&x_{1}&=0,&y_{1}&=\pi .\end{aligned}}\right.$

J’ai dit que ces dernières solutions devaient être considérées comme du premier genre et que les solutions correspondant à $|\mathrm {C} |<|\mu |$ doivent être regardées comme du second genre.

En effet, donnons à $\mathrm {C}$ une valeur très peu supérieure à $-\mu ,$ soit

$\mathrm {C} =(\varepsilon -1)\mu ,$

$\varepsilon$ étant très petit ; $y_{1}$ ne pourra beaucoup s’écarter de $\pi \,;$ nous aurons approximativement

$\mathrm {C} -\mu \cos y_{1}=\mu \left[\varepsilon -{\frac {(\pi -y_{1})^{2}}{2}}\right],$

et la période $\omega$ sera sensiblement égale à

${\frac {\pi }{\sqrt {2\mu }}},$

d’où cette conclusion : soit $\alpha$ un nombre quelconque commensurable avec $2\pi ,$ il existe une série de solutions périodiques telles que $|\mathrm {C} |<|\mu |$ et que $\omega =\alpha \,;$ si ${\sqrt {\overset {}{\mu }}}$ est très voisin de ${\frac {\pi }{\sqrt {2\alpha }}},$ $\mathrm {C}$ sera très voisin de $-\mu$ et pour

${\sqrt {\overset {}{\mu }}}={\frac {\pi }{\sqrt {2\alpha }}},$

ces solutions périodiques se confondront avec la seconde solution (4) qui est du premier genre. Nous reconnaissons là la propriété caractéristique des solutions du second genre.

On voit que la seconde solution (4), c’est-à-dire celle des deux solutions (4) qui est stable, engendre des solutions du second genre de la façon qui a été expliquée au Chapitre XXVIII.

Si les autres solutions du premier genre, celles qui sont telles